Matematické Fórum

Minulý týden jsem měl tu čest se účastnit jedné takové matematické akcičky v Bulharsku. A něco málo jsem vám přivezl:

1) Najděte všechny spojité funkce f z R do R, pro které je f(x)-f(y) racionální, pokud je x-y racionální.


2) Mějme funkci f, která každému polynomu P přiřadí reálné číslo a platí, že pokud f(PQ)=0, pak f(P)=0 nebo f(Q)=0. Dokažte, že existují konstanty a,b takové, že pro všechny polynomy P je f(P)=a*P(b).


3) Nech? a_1,a_2,...,a_k je k různých nenulových celých čísel a P polynom s reálnými koeficienty.

a) Dokažte, že existuje a takové, že
P(a_i) dělí P(a) pro všechna i od 1 do k.

b) rozhodněte, zda pro každý polynom P existuje a takové, že
P(a_1)*P(a_2) dělí P(a).


4) Trojici čísel x,y,z nazveme pěknou, pokud x+y+z=1. Trojice a,b,c je "lepší" než trojice x,y,z, pokud je větší její medián. Najděte nejmenší n takové, že existuje množina S obsahující n pěkných trojic s následující vlastností: pro libovolnou pěknou trojici t je v S trojice v, která je lepší než t.

5) Rozhodněte zda existuje taková grupa G a její normální podgrupa H, že H má více automorfizmů než G.

6) Pro permutaci f na množině {1,..., n} definujeme d(f) jako součet
|1-f(1)|+|2-f(2)|+...+|n-f(n)|.
Označme Q(n,r) počet permutací f nad {1,...,n}, pro které d(f)=r.
Ukažte, že Q(n,r) je pro d>=2n sudé číslo.

7) Víme, že polynom x^(2k)-x^k+1 dělí x^(2n)+x^n+1. Dokažte, že
x^(2k)+x^k+1 dělí x^(2n)+x^n+1.

8) Dvě elipsy mají společné ohnisko. Dokažte, že se protínají nejvýše ve dvou bodech.

9) Dokažte, že   je dělitelné .

10) Polynom P(x) s celočíselnými koeficienty má 81 celočíselných kořenů. Ukažte, že pokud existují polynomy F(x), G(x) s celočíselnými koeficienty takové, že P(x)-2008=F(x)G(x), pak F i G mají stupeň alespoň 6.

11) Matice A je čtvercová a má tu vlastnost, že její prvek je 0, pokud je i+j složené a 1, pokud je i+j prvočíslo. Ukažte, že determinant matice je druhá mocnina přirozeného čísla.

12) V Hilbertovském prostoru nekonečné dimenze je dána ne nutně spočetná množina bodů S, každé dva ve vzdálenosti d. Dokažte, že existuje bod y z tohoto prostoru takový, že

je ortonormální systém vektorů.



Pokud by vás zajímalo více, pak navštivte
http://www.mathlinks.ro/index.php?f=79
případně oficiální stránky
http://www.imc-math.org