Matematické Fórum

Zdravím všechny.

Před lety jsem se snažil vyřešit následující úlohu, k níž se občas vrátím, ale nikdy se nedoberu uspokojivého výsledku. Nějak jsem se na to upnul, byl bych vyloženě š?astný, kdyby mi s tím někdo pomohl:

Na kruhovém ostrově o poloměru r žijí dva obyvatelé. Jeden z nich má kozu, která spásá celý povrch ostrova. Druhému to vadí a chce ostrov rozdělit na dvě části o stejné ploše. Navrhnul tedy prvnímu, a? zapíchne do středu ostrova kolík a přiváže kozu na tak dlouhý provázek, aby koza mohla spásat jen polovinu povrchu ostrova. Takovéto řešení se samozřejmě prvnímu nelíbí, protože by neměl přístup k pobřeží ostrova. Dohodli se tedy tak, že kolík zapíchnou na pobřeží ostrova. Bohužel ale neumí vypočíst délku R provázku tak, aby bylo rozdělení plochy 1:1. Můžete jim pomoci?

Problém nemám v analytickém výpočtu určitého integrálu od 0 do R (který se musí rovnat poloviční ploše ostrova), ale v tom, že z výsledku neumím vyjádřit poloměr R. Možná existuje nějaké elegantnější řešení vedoucí k explicitnímu vyjádření hledaného poloměru. Za řešení bych považoval i důkaz, že takové vyjádření neexistuje.

Udělejte mi někdo radost ... prosím!
M.