Matematické Fórum

granit · 19. 08. 2008 08:06 — Editoval granit (19. 08. 2008 12:59)

mám příklad ${\lim}\limits_{x \to 0} \frac{2x-sin2x}{x^2 arcsinx}$ . Provedl jsem derivaci složené fce v čitateli a jmenovateli. A tady jsem se nějak zadrhnul ${\lim}\limits_{x \to 0} \frac{2-2cos2x}{2x(arcsinx) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .. prosím jak dál

jelena · 19. 08. 2008 08:47 — Editoval jelena (19. 08. 2008 09:36)

Zdravím :-)

V prvním kroku je derivace složené funkce pouze u sin(2x) a to máš dobře. Ovšem v jmenovateli máme součin a ten se má derivovat takto:

${\lim}\limits_{x \to \0} \frac{2-2cos2x}{2x(\arcsin x) +\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

Stále máme 0/0, derivujeme ještě jednou - v jmenovateli máš 2x*arcsinx - derivuješ jako součín + derivace podílu - podíl jsem rozepsala: $(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}})^{\prime}=\frac{2x\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot{\frac{1}{2}}(1-x^2)^{\frac{-1}{2}}\cdot{(-2x)}}{(\sqrt{1-x^2})^2}$

Editace: Můj původní předpoklad, že 2 kroky by mělo stačit se nezdá být dobrý - až 3 "derivační kroky" - hm, to je za trest nebo co?

zkontrolujte to někdo - je příliš brzy, abych napsala něco kloudného (témeř citat od kolegy Olina :-)

granit · 19. 08. 2008 12:05

↑ jelena:
tak to mě tam někde u té složené fce ujelo :-( ... každopádně po další derivaci to mám $\frac{-2\cdot(-2sin2x)}{2x\cdot(arcsinx)+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = 2\cdot arcsinx + 2x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{2x\sqrt{1-x^2}-x^2\cdot{\frac{1}{2}}(1-x^2)^{\frac{-1}{2}}\cdot{(-2x)}}{(\sqrt{1-x^2})^2}}$ je to tak ?

Marian · 19. 08. 2008 12:12 — Editoval Marian (19. 08. 2008 12:18)

↑ granit: Není mi jasné, co myslíš tím malým "o" v limitě funkce. Nemá to být nula, tedy "0" místo "o". Pokud ne, jedná se snad o nějaký parametr? EDIT.: Chybu děláš v tom, že píšeš zbytečně lomítko před nulou, pak to hodí něco jako "o" místo "0". Oprav to - podobně také jelena, která to kopírovala patrně.

↑ jelena:
Stačí použít l'Hospitalovo pravidlo jen jednou, protože platí
$\lim_{x\to 0}\frac{2x-\sin 2x}{x^2\arcsin x}=\lim_{x\to 0}\,\frac{2-2\cos 2x}{2x\arcsin x+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}=\lim_{x\to 0}\,\frac{4\sin ^2x}{2x\arcsin x+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}=4\cdot\lim_{x\to 0}\,\frac{\left (\frac{\sin x}{x}\right )^2}{2\cdot\frac{\arcsin x}{x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=\boxed{\frac{4}{3}},$
kde jsem využil základních limit
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\qquad\mathrm{a}\qquad\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1.$

Derivovat to třikrát je skutečně za trest.

ttopi · 19. 08. 2008 12:24 — Editoval ttopi (19. 08. 2008 12:31)

↑ Marian:
Ahoj. Můžu se jen zeptat na tu úpravu čitatele z 2.výrazu na 3. ?

EDIT: Už to mám.

$2(1-cos2x)=2(sin^2x+cos^2x-cos^2x+sin^2x)=2(2sin^2x)=4sin^2x$
V pořádku :-)

musixx · 19. 08. 2008 12:28

↑ ttopi: "Vzorecky"
$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$
$1=\cos^2x+\sin^2x$
plati pro libovolna $x$ , tedy
$2-2\cos2x=2\cdot(\cos^2x+\sin^2x)-2\cdot(\cos^2x-\sin^2x)=4\sin^2x$

jelena · 19. 08. 2008 13:02

↑ Marian:

Zdravím srdečně a děkuji za nasměřování kolegy na správnou (tedy dosti trnitou cestu :-)

vědela jsem, že nemám psát takto brzy ráno (o to víc obdivuji kolegu granit, že sem vkládá příspěvky tak brzy). Ale abych pravdu řekla, tak úprava na cos^2x sice napadla, ale to asi tak všechno, arcsin(x)/x jsem tam neviděla :-)

Tak se omlouvám kolegovi ↑ granit: a zdravím :-)

granit · 19. 08. 2008 13:07

↑ Marian:
...opraveno ..moje chyba .Omlouvám se.

granit · 19. 08. 2008 13:10

↑ jelena:
já jsem se tam po cestě ztrácel, takže jakýkoliv postrčení mě pomohlo.. Děkuji Jeleno

granit · 19. 08. 2008 13:15

↑ Marian:

Děkuji moc. To dělení mě nenapadlo ..

Matematické Fórum

#1 19. 08. 2008 08:06 — Editoval granit (19. 08. 2008 12:59)

pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

#2 19. 08. 2008 08:47 — Editoval jelena (19. 08. 2008 09:36)

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

#3 19. 08. 2008 12:05

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

#4 19. 08. 2008 12:12 — Editoval Marian (19. 08. 2008 12:18)

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

#5 19. 08. 2008 12:24 — Editoval ttopi (19. 08. 2008 12:31)

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

#6 19. 08. 2008 12:28

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

#7 19. 08. 2008 13:02

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

#8 19. 08. 2008 13:07

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

#9 19. 08. 2008 13:10

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

#10 19. 08. 2008 13:15

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu (složená funkce)

Zápatí