Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Matice kvadriky je
3 1 4
1 -1 5
4 5 14
Její determinant je nenulový, kuželosečka je regulární.
Determinant hlavního minoru 2x2
3 1
1 -1
je záporný, jedná se proto o hyperbolu (kdyby byl 0, byla by to parabola, kdyby byl >0, elipsa).
Pokud jde o vlastnosti, začal bych takto:
Rozložíme na součin první tři členy: 3x^2+2xy-y^2=(3x-y)(x+y). Vyšly nám takto dva asymptotické směry: (1,3) a (1,-1). Odtud víme, že se jedná o hyperbolu. Nyní potřebujeme najít osu úhlu mezi nimi. Tu najdeme tak, že je vydělíme jejich velikostmi a sečteme nebo odečteme.
Dostaneme tak směrové vektory os: a
, po vynásobení sqrt(10)
a
Zvolíme tedy souřadnice x'=x(1+sqrt(5))+y(3-sqrt(5)), y'=x(3-sqrt(5))-y(1+sqrt(5)). Přepíšeme zadanou rovnici do těchto souřadnic a jsme hotovi (v nových souřadnicích už lze snadno dopočítat délky poloos, polohy ohnisek,... jen je potřeba si uvědomit, že nové souřadnice nezachovávají délku.)
Offline
Z prvků x,y,1 tvoříš součiny po dvou, prvky se mohou i opakovat, přičemž bereme ohled na pořadí prvků. Z kombinatoriky víš, že jich bude . Níže je vypisuji a ukazuju, jak je dostat z tvé kvadriky.
kde výrazy v rámečcích symbolizují koeficienty v upravené kvadratické formě. Je vidět také, že tato matice je symetrická.
Offline