Matematické Fórum

Matice kvadriky je
3  1  4
1 -1  5
4  5 14
Její determinant je nenulový, kuželosečka je regulární.
Determinant hlavního minoru 2x2
3 1
1 -1
je záporný, jedná se proto o hyperbolu (kdyby byl 0, byla by to parabola, kdyby byl >0, elipsa).

Pokud jde o vlastnosti, začal bych takto:
Rozložíme na součin první tři členy: 3x^2+2xy-y^2=(3x-y)(x+y). Vyšly nám takto dva asymptotické směry: (1,3) a (1,-1). Odtud víme, že se jedná o hyperbolu. Nyní potřebujeme najít osu úhlu mezi nimi. Tu najdeme tak, že je vydělíme jejich velikostmi a sečteme nebo odečteme.
Dostaneme tak směrové vektory os: a
, po vynásobení sqrt(10)
a
Zvolíme tedy souřadnice x'=x(1+sqrt(5))+y(3-sqrt(5)), y'=x(3-sqrt(5))-y(1+sqrt(5)). Přepíšeme zadanou rovnici do těchto souřadnic a jsme hotovi (v nových souřadnicích už lze snadno dopočítat délky poloos, polohy ohnisek,... jen je potřeba si uvědomit, že nové souřadnice nezachovávají délku.)

Z prvků x,y,1 tvoříš součiny po dvou, prvky se mohou i opakovat, přičemž bereme ohled na pořadí prvků. Z kombinatoriky víš, že jich bude . Níže je vypisuji a ukazuju, jak je dostat z tvé kvadriky.



kde výrazy v rámečcích symbolizují koeficienty v upravené kvadratické formě. Je vidět také, že tato matice je symetrická.