Matematické Fórum

Pavel Brožek · 14. 09. 2008 12:43

Už je to delší čas, co jsem narazil na zajímavou úlohu, teď jsem si na ni vzpomněl v souvislosti se zahradou a kabelem:

Máme obecný trojúhelník ABC a bod X takový, že |AX|+|BX|+|CX| je minimální. Dokažte, že

$|\angle AXB|=|\angle BXC|=|\angle CXA|=\frac23\pi\quad(=120^{\circ})$

Doufám, že si to pamatuji správně a jde to dokázat. Sám jsem to zatím nevyřešil, tak doufám, že jsem něco nepřehlédl a není to triviální :-)

Marian · 14. 09. 2008 14:30 — Editoval Marian (14. 09. 2008 14:38)

↑ BrozekP:
Fermat point
diskuze

Kondr · 14. 09. 2008 14:38

↑ Marian: Součet vzdáleností od vrcholů je opravdu* realizován v bodě, z nějž je všechny strany vidět pod úhlem 120˚. Je to celkem triviální důsledek Ptolemayovy věty a trojúhelníkové nerovnosti (i když je netriviální přijít na to, že se zrovna zde Ptolemayova věta uživí).

---
* pokud má trojúhelník všechny úhly menší než 120˚

Marian · 14. 09. 2008 14:42

↑ Kondr:
Nejprve jsem se přehlídnul a místo rovnítka mezi úhly měl za to, že ta jsou znaménka + pro jejich součet. Příspěvek jsem smazal a odkázal hned na materiály k Fermatově bodu.

Ptolemaiovu větu beru také jako možný prostředek.

Pavel Brožek · 14. 09. 2008 14:51

↑ Marian:

Aha, nevěděl jsem, že je to tak známá úloha. Díky za odkaz.

Takže co jsem napsal neplatí, platí to pouze pro trojúhelníky v nichž jsou všechny úhly menší než 120°.

Matematické Fórum

#1 14. 09. 2008 12:43

Důkaz v trojúhelníku

#2 14. 09. 2008 14:30 — Editoval Marian (14. 09. 2008 14:38)

Re: Důkaz v trojúhelníku

#3 14. 09. 2008 14:38

Re: Důkaz v trojúhelníku

#4 14. 09. 2008 14:42

Re: Důkaz v trojúhelníku

#5 14. 09. 2008 14:51

Re: Důkaz v trojúhelníku