Matematické Fórum

Peggy1012 · 04. 01. 2012 13:48

Mám vypočítat tento příklad a vůbec si nevím rady :((

Najděte roviny symetrie různoběžných rovin:
ρ1: 2x + 5y - 5z + 16 = 0
ρ2: 2x – 7y – z + 8 =0

Jediné co mě napadlo je vypočítat jejich průsečík, ale nevím

Děkuju za každou radu

vanok · 04. 01. 2012 15:24

Ahoj ↑ Peggy1012:,
JA vzdy najprv pozdravim a ty?

Tie roviny symetrie su vlastne analogie z rovinym problemom
osy dvoch nerovnobeznych priamok .

A mozes nam napisat ako su geometricky urcene taketo roviny v tvojom pripade?

Rumburak · 04. 01. 2012 15:31

Roviny v R3 , pokud nejsou rovnoběžné, mají průsečnici (nikoliv průsečík).

Zkusil bych vyšetřovat množinu všech koulí, které mají dotyk s každou z obou daných rovin.
Středy těchto koulí vyplní obě hledané roviny semetrie těchto rovin.

Peggy1012 · 04. 01. 2012 15:46

↑ vanok:
Ahoj vanok,
Omlouvám se za vynechání pozdravu, nebylo to úmyslem.

tak mě napadá, nešlo by to přes určení nějaký bodů na přímkách a pak vypočítat jejich středy ???

Jinak opravdu netušímmmm :(

Děkujuu za každou radu

Peggy1012 · 04. 01. 2012 15:48

↑ Rumburak:
Ahojda,
a mohl bys mi prosím nastínit kousek řešení, páč vůbec netušímmm

Děkujuu za každou radu

vanok · 04. 01. 2012 16:06

↑ Peggy1012:↑ Peggy1012:,
kolega ti dal dobru myslienku na najdenie bodov mimo priamku co su rovnako vzdialene od dvoch danych rovin. Vyuzi to!
A potom, ked to urobis porozmyslame ci takto mas vsetki roviny co hladas.( to je ta otazka kolko je takychto rovin?)

Peggy1012 · 04. 01. 2012 16:21

↑ vanok:
A tou rovinou symetrie pak bude co ? Rovina všech středů těch koulí ? Takže by mi měly stačit 3 a 3 středy a z nich bych měla ty roviny?

vanok · 04. 01. 2012 16:48

↑ Peggy1012:,
alebo spolocna priamka rovin ako ti uz napisal kolega↑ Rumburak:,
a jeden stred nejakej z tych gul urci taku rovinu

Rumburak

↑ Peggy1012:

I. Nástin analytického řešení.

Nechť S[u, v, w] je střed takové koule K a r >= 0 její poloměr (budeme připouštět i koule, které zdegenerují do jediného bodu,
proto připouštíme možnost r = 0). Rovnice koule pak bude

$(x-u)^2 + (y-v)^2 + (z-w)^2 = r^2$ .

Bod jejího dotyku s první rovinou nechť je $A[x,y,z]$ , bod dotyku s druhou rovinou nechť je $B[\xi,\eta,\zeta]$ .
Celkem tedy musí být splněna soustava rovnic

(1) $2x + 5y - 5z + 16 = 0$ ,
$2\xi \,– 7\eta – \zeta \,+\,\,\,8 =0$ ,
$(x-u)^2 + (y-v)^2 + (z-w)^2 = (\xi-u)^2 + (\eta-v)^2 + (\zeta-w)^2$

s neznámými $x,y,z,\xi,\eta,\zeta$ a parametry $u, v, w$ . Cílem je nalézt fomuli $\Phi (u, v, w)$ , jejíž splnění bude ekvivalentní s výrokem,
že soustava (1) má jediné řešešení. Z formule $\Phi(u, v, w)$ pak odvodíme rovnice hledaných rovin symetrie.

II.

Ale předchozí postup odhaduji jako velmi pracný. Dalo by se využít, že průsečnice p daných rovin je i průsečnicí hledaných rovin a pak tedy k určení
každé z nich postačí nalézt pouze jeden její bod ležící mimo přímku p . Takovým bodem bude střad úsečky AB , kde B je dvojice navzájem
symetrických bodů (neležících v přímce p). Postačí zvolit v jedné rovině bod A mimo přímku p, k němu nalézt bod B v druhé rovině tak, aby
byl rovinně symetrický s bodem A , tj. aby na přímce p ležel bod P s vlastnostmi

1. přímky PA , PB jsou kolmé k přímce p,
2. |PA| = |PB| .

Pro bod B budou existovat 2 řešení a každé z nich dá pomocí postupu uvedeného na začátku odstavce II. jednu rovinu symetrie.
Zde ale zase bude problém s důkazem, že jsme úlohu vskutku vyřešili, a to vyčerpávajícím způsobem.

vanok · 04. 01. 2012 17:16

Ahoj ↑ Rumburak:,
Ano, ale co povedat o rovinach co su kolme na priesecnicu danych rovin?

Rumburak · 05. 01. 2012 10:38

Ahoj ↑ vanok: ,
Úlohu jsem chápal tak, že hledáme takové rovinné symetrie, které rovinu ρ1: 2x + 5y - 5z + 16 = 0
zobrazují na rovinu ρ2: 2x – 7y – z + 8 =0 (a naopak). Máš pravdu, že zadání se dá vyložit i šířeji -
- tak, jak naznačuješ.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2012 13:48

Rovina symetrie různoběžných rovin

#2 04. 01. 2012 15:24

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

#3 04. 01. 2012 15:31

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

#4 04. 01. 2012 15:46

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

#5 04. 01. 2012 15:48

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

#6 04. 01. 2012 16:06

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

#7 04. 01. 2012 16:21

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

#8 04. 01. 2012 16:48

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

#9 04. 01. 2012 17:06 — Editoval Rumburak (04. 01. 2012 17:09)

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

#10 04. 01. 2012 17:16

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

#11 05. 01. 2012 10:38

Re: Rovina symetrie různoběžných rovin

Zápatí