Matematické Fórum

Torpy · 05. 01. 2012 22:04

Zdravím,
mám následující příklad:

Dokažte, že funkce $F(a)=\int\limits_0^\infty { (\textrm{arccotg} x)^a}\mathrm{d}x$ je spojitá na svém definičním oboru.

Řešil jsem to takto:

1. definiční obor:
jestli to dobře chápu, je to interval, kde integrál konverguje, což je dle mého interval $\[A,B\]$ pro $1<A<B<\infty$ .

2. mám větu, že ke spojitosti stačí najít integrovatelnou majorantu pro danou funkci a spojitost $a \rightarrow (\textrm{arccotg}x)^a$

3. ta majoranta:
pro $x\geq\textrm{cotg} 1$ jí definuji jako funkci $g(x)=(\textrm{arccotg}x)^A$ ,
pak $(\textrm{arccotg}x)^a \leq (\textrm{arccotg}x)^A$ (protože $(\textrm{arccotg}x) \leq 1$ , tudíž "největší" funkce bude ta s nejmenším možným exponentem)
a $\int\limits_{\textrm{cotg}1}^\infty{g(x)}<\infty$

pro $x<\textrm{cotg} 1$ jí definuji jako funkci $g(x)=(\textrm{arccotg}x)^B$ ,
pak $(\textrm{arccotg}x)^a \leq (\textrm{arccotg}x)^B$ (protože $(\textrm{arccotg}x) >1$ )
a $\int\limits_0^{\textrm{cotg}1}{g(x)}<\infty$

4. funkce $a \rightarrow (\textrm{arccotg}x)^a$ spojitá je.

Je tento můj postup správný?
Díky všem za radu!

Rumburak · 06. 01. 2012 11:03

↑ Torpy:

Ahoj.

Tím defničním oborem funkce

(1) $F(a)=\int_0^{+\infty} (\mathrm{arccotg}\, x)^a \,\mathrm{d}x$

je podle mne interval $I := (1, +\infty)$ , protože právě pro $a$ z tohoto intervalu integrál (1) konverguje.

Další Tvůj postup je správný, snad by sa dal poněkud zjednodušit rozkladem $F(a) = G(a) + H(a)$ ,

kde $G(a) = \int_0^1 (\mathrm{arccotg}\, x)^a \,\mathrm{d}x , H(a) = \int_1^{+\infty} (\mathrm{arccotg}\, x)^a \,\mathrm{d}x$ .

Torpy · 07. 01. 2012 23:17

Jo jasný, máš pravdu.
Díky!

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2012 22:04

Spojitost funkce - integrál s parametrem

#2 06. 01. 2012 11:03

Re: Spojitost funkce - integrál s parametrem

#3 07. 01. 2012 23:17

Re: Spojitost funkce - integrál s parametrem

Zápatí