Matematické Fórum

Tscar · 13. 01. 2012 20:26

A ještě jeden dotaz.
Mám zadání x^2 + y^2 = z^2
x^2 + y^2 = ay
x^2 + y^2 = 2ay
a je kladné
A mám spočítat objem tělesa, které je tímto ohraničeno.
Moc by mi pomohlo, kdyby si někdo našel chvilku a spočítal mi to (pro kontrolu výsledku). Zmatek mám ale jen v mezích (polární souřadnice) takže i tam by to bohatě stačilo. Předpokládat, že polárníma souřadnicema s počátkem mimo počátek kartézských si moc nepomůžu (válce nemají stejný střed).
Děkuji.

jardofpr · 13. 01. 2012 22:58

↑ Tscar:

môžeš si polárnymi súradnicami pomôcť ak najprv vypočítaš objem telesa ktoré je ohraničené prvou a treťou rovnicou a potom odpočítaš objem telesa ohraničeného prvou a druhou rovnicou

teda mne to vyšlo $V=\frac{28a^3}{9}$ dúfam že správne

počítal som to ako

$V=2\int_{G}^{} z(x,y) \,d(x,y)$ kde $z(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ a $G$ je rovinný útvar ktorý vznikne vyrezaním
polkružnice $G_{2} : x^2 + \bigg(y-\frac{a}{2}\bigg)^2 = \bigg(\frac{a}{2}\bigg)^2 \quad x \geq 0$ z polkružnice $G_{1} : x^2 + (y-a)^2 = a^2 \quad x \geq 0$

teda $V=2\int_{G}^{} z(x,y) \,d(x,y) = 2\bigg( \int_{G_{1}}^{} z(x,y) \,d(x,y) - \int_{G_{2}}^{} z(x,y) \,d(x,y) \bigg)$

$G_{1},G_{2}$ sa dajú potom pomocou polárnych súradníc transformovať na obdĺžniky s medzami
$0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$ a $0 \leq r \leq 2a\sin{\varphi}$ pre $G_{1}$ a
$0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$ a $0 \leq r \leq a\sin{\varphi}$ pre $G_{2}$