Matematické Fórum

Pavel · 07. 10. 2008 14:15 — Editoval Pavel (07. 10. 2008 14:16)

Nech? $z,w\in\mathbb C$ . Dokažte, že platí-li $|z|=1$ nebo $|w|=1$ , pak

$\,\rule[-10pt]{1pt}{30pt}\,\frac{z-w}{1-\bar zw}\,\rule[-10pt]{1pt}{30pt}=1, \qquad 1-\bar zw\neq 0,$

kde $\bar z$ je čislo komplexně sdružené k $z$ .

lukaszh · 07. 10. 2008 16:20

↑ Pavel:
Nech $z=a+b\textrm{i}\nlw=c+d\textrm{i}$ , potom $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=1\Leftrightarrow a^2+b^2=1\nl|w|=\sqrt{c^2+d^2}=1\Leftrightarrow c^2+d^2=1$
Tieto vz?ahy využijem pri úpravách, ale je to veľmi zdĺhavé :-)

Pavel Brožek · 07. 10. 2008 17:50

↑ Pavel:

a) $|z|=1$

$\|\frac{z-w}{1-\bar zw}\|=\|\frac{z-w}{z(1-\bar zw)}\|=\|\frac{z-w}{z-\bar zzw}\|=\|\frac{z-w}{z-w}\|=\|1\|=1$

b) $|w|=1$

$\|\frac{z-w}{1-\bar zw}\|=\frac{|z-w|}{|1-\bar zw|}=\frac{|z-w|}{|\bar{1-\bar zw}|}=\frac{|z-w|}{|1-z\bar w|}=\|\frac{z-w}{1-z\bar w}\|=\|\frac{z-w}{w(1-z\bar w)}\|=\|\frac{z-w}{w-z}\|=|-1|=1$

musixx · 07. 10. 2008 18:11

Nebo (pro |w|=1, druha moznost analogicky)

w lezi na jednotkove kruznici

uhel pro 'z' oznacme jako $\alpha$

uhel pro 'w' oznacme jako $\beta$

pak zeleny uhel je $\beta-\alpha$

cerveny uhel je take $\beta-\alpha$ (komplexne sdruzene k 'z' ma uhel $-\alpha$ a vynasobeno s 'w' to dava $-\alpha+\beta$ )

modry uhel je vrcholovy k cervenemu, cerny uhel je stridavy s modrym, takze vsechno je take $\beta-\alpha$

zluty trojuhelnik ma strany o delce 1 a |z| a uhel mezi nima je $\beta-\alpha$ , cerveny trojuhelnik stejne tak, takze jsou shodne, a proto jsou modre cary stejne dlouhe; delka modre cary u zluteho trojuhelnika je zjevne stejna jako velikost komplexniho cisla |z-w|

Pavel · 07. 10. 2008 19:14 — Editoval Pavel (07. 10. 2008 19:15)

↑ lukaszh: Důkaz, který uvádíš, předpokládá, že $|z|=1$ a zároveň $|w|=1$ . Je však třeba dokázat, že tvrzení platí i v případech, kdy platí pouze jedna z výše uvedených možností.

Ostatní důkazy jsou bezchybné. Pustil jsem se totiž do samostudia komplexní analýzy a tenhle příklad mě jakýmsi způsobem zaujal. Narazím-li na další, určitě si ho nenechám pro sebe :-)

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2008 14:15 — Editoval Pavel (07. 10. 2008 14:16)

Absolutní hodnota z komplexního čísla

#2 07. 10. 2008 16:20

Re: Absolutní hodnota z komplexního čísla

#3 07. 10. 2008 17:50

Re: Absolutní hodnota z komplexního čísla

#4 07. 10. 2008 18:11

Re: Absolutní hodnota z komplexního čísla

#5 07. 10. 2008 19:14 — Editoval Pavel (07. 10. 2008 19:15)

Re: Absolutní hodnota z komplexního čísla

Zápatí