Matematické Fórum

oho · 19. 10. 2008 18:01

V práci jsme v trezoru u mechanického číslicového zámku měnili kombinaci tří čísel, kolega to ale špatně nastavil a tresor zavřel. Když jsme ho chtěli otevřít, neznali jsme tudíž správnou kombinaci. Servizáci na tresor nasadili ve čtvrtek zařízení, které kombinace postupně zkoušelo, v pondělí odpoledne jsme to ale po marném úsilí přístroje odpojili a tresor nechali odvrtat. V té souvislosti jsme se snažili zjistit, o kolik kombinací se jedná, našli jsme ale vzorec pouze na výpočet případu, kdyby se jednalo o jakákoliv tři čísla, což v případě trezorového zámku nelze využít.
Zadání je takové: - na zámku se musí nastavit tři čísla od 0 do 99
- mezi čísly musí být větší rozdíl než tři (např. 11 - 15)
- poslední číslo musí být větší než 20
- dvě čísla mohou být stejná - t.j. první a třetí

Kombinace čísel tedy může např. být ... 14 - 55 - 21, nebo ... 21 - 55 - 21, nebo ... 1 - 8 - 99, atd.
Chtěli jsme spočítat,jak dlouho by to zařízení muselo běžet, aby trezor určitě otevřelo ( za minutu vyzkouší cca 6 kombinací). Ale nehneme s tím. Pokud někdo zná řešení tak díky. O.

Jirda · 19. 10. 2008 19:02

↑ oho:

Neznam sice reseni, kombinace jsem se jeste neucil, ale i tak musim rici, ze mas sikovneho kolegu:o))

lukaszh

Ja by som povedal, že tých kombinácií je:
$P=100\cdot93\cdot72=669\,600$

Jirda · 19. 10. 2008 21:11 — Editoval Jirda (19. 10. 2008 21:12)

↑ lukaszh:

A ja jen z tohoto vysledku kombinaci dodam, ze by to trvalo:
111600 minut coz je 1860 hodin coz je 77 dnu a 12 hodin

- samozrejme za predpokladu, ze zarizeni kombinace nelosuje nahodne ale postupne zkousi vsechny moznosti

oho · 20. 10. 2008 07:51

lukaszh napsal(a):
Ja by som povedal, že tých kombinácií je:
$P=100\cdot93\cdot72=669\,600$

Za ten výsledek díky, stejně mi však ten postup není jasný. Budu mu však věřit. Kolik dní by se přístroj mořil, to už jsou jednoduché počty. Ještě jednou díky, překvapuje mne, že se při výpočtu nepoužívají faktoriály.O

lukaszh · 20. 10. 2008 14:06

↑ oho:
Ani ja sám tomu výsledku veľmi neverím. Postupoval som takto:
Na prvom mieste súčinu sú všetky číselné možnosti, ktoré prichádzajú v úvahu na prvé miesto kódu. Keďže vyberáme zo 100 čísel, tak voľba prvého z troch nie je nijako obmedzená. Takže prvé číslo volíme jedno zo 100 možných.

Na druhom mieste kódu sa môžu vyskytova? len čísla, ktoré sú rôzne od prvého nami zvoleného čísla. Tých možností je teda 99. Lenže od týchto možností ešte musím odčíta? tie čísla, ktoré sú od prvého čísla napravo i naľavo v rozsahu 3. Čísla naľavo od nami zvoleného prvého sú 3 a napravo taktiež 3. Spolu teda ešte odčítame 6 čísel (napríklad ak je na prvom mieste kódu číslo 21, tak druhé nesmie by? 18,19,20,21,22,23,24 - čo je rozsah 7 čísel. Počet možností voľby na druhé miesto kódu je 100 - 1 - 6 = 93.

Na tre?om mieste je to ešte zamotanejšie. Posledné číslo musí by? väčšie ako 20, čiže hneď preskočíme 21 možností (vrátane nuly). Ďalej od všetkých možností podobne ako v predošlom odseku musíme odčíta? čísla, ktoré sú v rozsahu 3 napravo i naľavo od druhého čísla. Je ich taktiež 7. Spolu všetkých možností je 100 - 21 - 7 = 72

Počet všetkých možností je súčinom čiastkových možností teda 669 600. Je to ale veľmi diskutabilné, pretože môj postup predpokladá, že druhé číslo nie je medzi prvými 21 číslami, s čím narábam pri tretej voľbe, kde odčítavam rozsah siedmich čísel. Ak by bolo druhé číslo medzi prvými 21 tak potom už pri tretej voľbe nemusím odčítava? rozsah až 7 čísel, ale nejaký menší prípadne žiadny.

Je to veľmi komplikované na vysvetľovanie, ale ten počet aspoň dúfam, že je približný. Zapíšem to radšej takto:
$P\app 669\,600$ :-)))))

musixx · 20. 10. 2008 14:22 — Editoval musixx (20. 10. 2008 14:25)

↑ lukaszh: At zije algoritmus hruba sila. Kombinaci je 684749.

EDIT:

trezor() =
{
local(moznosti);

moznosti = 0;

for (i = 0, 99, for (j = 0, 99, for (k = 21, 99,
if (abs(i-j) > 3 & abs(j-k) > 3, moznosti += 1);
)));

print("moznosti je ", moznosti);
}

lukaszh · 20. 10. 2008 14:23

↑ musixx:
Takže som bol predsa blízko :-))) Ako si na to prišiel?

musixx · 20. 10. 2008 14:26

↑ lukaszh: Viz predchozi prispevek - doplnil jsem ho o kod naivniho algoritmu typu "hruba sila" v PARI/gp - uz podruhe tady timto agituju pro tento program specializovany na teorii cisel.

Kondr · 21. 10. 2008 11:22

Protože předpolady "dvě čísla se musí lišit alespoň o 4" a "první a poslední číslo mohou být stejné" jsou v rozporu, předpokládal jsem stejně jako Martanko, že rozdíl 4 se vztahuje jen na sousední čísla. Pokud to bylo míněno jinak,
tak bude počet možností menší.

Zvolím napevno prostřední číslo x. Pak podle hodnoty x mohu rozdělit, kolik možností mám pro první a druhé číslo.
pro x=0,1,2 mám pro první číslo 96-x možností, pro třetí 79

pro 2<x<97 už mám pro první vždy 93 možností, liší se jen počty možností pro třetí:

pro 2<x<18 je to 79 možností
pro x=18 je to 78 možností
pro x=19 je to 77 možností
pro x=20 je to 76 možností
pro x=21 je to 75 možností
pro x=22 je to 74 možností
pro x=23 je to 73 možností
pro x>23 je to 72 možností

Pro x=97,98,99 mám x-3 možností pro první a x-24 možností pro třetí.

Celkem je možností (96+95+94)*79+93*(15*79+6*(78+73)/2+73*72)+94*73+95*74+96*75

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2008 18:01

Počet kombinací trezoru

#2 19. 10. 2008 19:02

Re: Počet kombinací trezoru

#3 19. 10. 2008 20:11 — Editoval lukaszh (19. 10. 2008 20:12)

Re: Počet kombinací trezoru

#4 19. 10. 2008 21:11 — Editoval Jirda (19. 10. 2008 21:12)

Re: Počet kombinací trezoru

#5 20. 10. 2008 07:51

Re: Počet kombinací trezoru

lukaszh napsal(a):

#6 20. 10. 2008 14:06

Re: Počet kombinací trezoru

#7 20. 10. 2008 14:22 — Editoval musixx (20. 10. 2008 14:25)

Re: Počet kombinací trezoru

#8 20. 10. 2008 14:23

Re: Počet kombinací trezoru

#9 20. 10. 2008 14:26

Re: Počet kombinací trezoru

#10 21. 10. 2008 11:22

Re: Počet kombinací trezoru

Zápatí