Matematické Fórum

ditulka · 19. 10. 2008 22:40

ahojky, můžete mi prosím pomoct s tímhle příkladem? nějak si s ním nevím rady - ani nevím jak mám začít.. je to pro mě moc důležitý, píšu zápočet a nevím co s tím. díky moc

Stanovte (a zduvodnete) sup(an), inf(an), max(an), min(an) posloupnosti (an),

an =2^n+1/n*3^n

lukaszh · 19. 10. 2008 22:49

Má to by? takto?
$a_n=\left\{2^n+\frac{1}{n\cdot3^n}\,;\,\, n\in\mathbb{N}\right\}$

ditulka · 19. 10. 2008 22:52

↑ lukaszh: nene dvě na n+1 děleno n krát tři na n :-)

Pavel Brožek · 19. 10. 2008 22:57

$a_n=\left\{\frac{2^{n+1}}{n}\cdot3^n\,;\,\, n\in\mathbb{N}\right\}$

takhle?

lukaszh

↑ ditulka:
Takže takto:
$a_n=\left\{\frac{2^{n+1}}{n\cdot3^n}\,;\,\, n\in\mathbb{N}\right\}$
Táto postupnos? je zrejme klesajúca, pretože pre každé n prirodzené platí $a_{n+1}\,>\,a_n$ .
Dôkaz:

Toto platí pre každé n prirodzené. Teraz z toho môžme vychádza?. Pravdepodobne $\sup a_n = a_1$ . Stačí vypísa? pár prvých členov: a_1 = 4/3, a_2 = 4/9 atď. Potom $\sup a_n=\frac{4}{3}$
Dôkaz sa dá urobi? matematickou indukciou s nerovnos?ou a zistíš, že to skutočne platí:

Ak sa ukáže, že postupnos? konverguje k nejakej hodnote, potom práve tá bude infimum. Nech b_n je postupnos? $\left\{\frac{2^{n+1}}{3^n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ . Pre túto platí, že
$\forall n\in\mathbb{N}\,:\,\,a_n\,<\,b_n$
$\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n+1}}{3^n}=2\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n}}{3^n}=2\cdot0=0\qquad\Rightarrow\qquad \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$
Infimum je teda 0. Opä? sa to dá dokáza? matematickou indukciou prípadne priamo.

Zhrnutie:
$\sup a_n=\frac{4}{3}\nl \inf a_n=0\nl \max a_n=\frac{4}{3}\nl \min a_n\,\,\textrm{neexistuje}$

ditulka · 19. 10. 2008 23:13

↑ BrozekP:to 3 na n patří ještě pod to lomeno k tomu n

ditulka · 19. 10. 2008 23:23

↑ lukaszh:můžeš mi please vysvětlit jak potom rozepsal tu nerovnici? myslím druhý krok..

lukaszh · 19. 10. 2008 23:26

↑ ditulka:
Nerovnicu som naprv prenásobil výrazom $n\cdot 3^n\cdot(n+1)3^{n+1}$ aby som sa zbavil zlomkov. Potom som obe strany bez ujmy na všeobecnosti delil výrazom 3^n a 2^{n+1}

ditulka · 19. 10. 2008 23:32

↑ lukaszh: mohl bys mi to prosím rozepsat? jsem nějak mimo.. nevychází mi to

lukaszh · 19. 10. 2008 23:39

Je daná nerovnica:

Ak chceš z menovateľa zlomku odstráni? n.3^n, musíš obe strany nerovnice vynásobi? týmto výrazom (násobi? môžeme, keďže ide o kladné strany nerovnice a kladný výraz):

Dostaneš nerovnicu:

Teraz chcem odstráni? z menovateľa výraz (n+1)3^{n+1}, tak celú nerovnicu vynásobím týmto výrazom:

Chápeš?

ditulka · 19. 10. 2008 23:53

↑ lukaszh:jj už jo. díky moc. pak si psal že si to dělil 3^n a 2^(n+1). ale proč jen 3^n a ne 3^(n+1) ??

lukaszh · 19. 10. 2008 23:58

↑ ditulka:
Dá sa aj tak, ale ja som volil najväčšieho spoločného deliteľa.

ditulka · 20. 10. 2008 00:04

↑ lukaszh:nemůžeš mi to rozepsat moc prosím? já jsem asi totálně blbá na tu matiku :-( na střední na matiku kašlali a teď na vysoký jsem ztracená :-(

lukaszh · 20. 10. 2008 00:11

Iste :-)
Dopracovali sme sa sem:

Na ľavej strane si všimni, že sa dá vyjmout číslo 3^n+1:

Číslo 3^{n+1} sa dá rozpísa? ako 3^n krát 3. Neviem či to poznáš ale ide o pravidlo $a^{b+c}=a^ba^c$ Teraz to aplikujem:

Na oboch stranách nerovnice sa vyskytuje rovnaká hodnota, a to 3^n, keďže je vždy kladná tak ňou môžem vydeli? obe strany:

ditulka · 20. 10. 2008 17:01

↑ lukaszh:jak si dostal ten první krok? když jsme to vynásobili, tak mi vyšel ten konečný výsledek, jak si vypočítal ty. pak vůbec nechápu jak si dostal n*3^(n+1)*2^(n+1)+3^(n+1)*2^(n+1) > n*3^n*2^(n+2)

lukaszh · 20. 10. 2008 18:43

↑ ditulka:
Radšej to nechajme tak, pretože si neviem predstavi?, ako ti budem vysvetľova? tú limitu. Zostaň iba pri tom supréme a infime. Takže si vypíš pár prvých členov postupnosti a na základe toho urči, ktorý prvok je suprémum resp. infimum. Je to síce veľmi elementárne a nezodpovedné riešenie (bez dôkazov), ale pre tvoje účely bude pravdepodobne stači?.

Inak, čo sa týka tej úpravy, na ktorú sa pýtaš ide o elementárne roznásobenie a(b+c) = ab + ac. Ibaže a,b,c majú trošku zložitejšie štruktúry.

ditulka · 20. 10. 2008 18:57

↑ lukaszh:oki, já právě si vždycky dosazuju ty členy.. ale vím že to není nejlepší řešení. Ale díky moc!!!!

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2008 22:40

sup, inf, min a max posloupnosti

#2 19. 10. 2008 22:49

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#3 19. 10. 2008 22:52

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#4 19. 10. 2008 22:57

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#5 19. 10. 2008 23:12 — Editoval lukaszh (19. 10. 2008 23:54)

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#6 19. 10. 2008 23:13

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#7 19. 10. 2008 23:23

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#8 19. 10. 2008 23:26

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#9 19. 10. 2008 23:32

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#10 19. 10. 2008 23:39

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#11 19. 10. 2008 23:53

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#12 19. 10. 2008 23:58

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#13 20. 10. 2008 00:04

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#14 20. 10. 2008 00:11

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#15 20. 10. 2008 17:01

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#16 20. 10. 2008 18:43

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

#17 20. 10. 2008 18:57

Re: sup, inf, min a max posloupnosti

Zápatí