Matematické Fórum

ivalenta · 18. 03. 2012 21:44

ahoj,
mám zadaný integrál $\int(x^{6}+2)/(x^{4}+x^{2})$ vydělil jsem ho vyšlo mi $(x^{2}-1)+((x^{2}+2)/(x^{4}+x^{2}))$ rozdělil jsem si to na parciální zlomky $((x^{2}+2)/((x^{2})*(x^{2}+1)))=a/x+b/x^{2}+c/(x^{2}+1)$ potom jsem si to roznásobil abych neměl zlomky ale navim co stím dál dělat. děkuji za pomoc.

Andrejka3 · 18. 03. 2012 21:50

Jinak řečeno, nevíš, jak spočítat $a,b,c$ ?
Pravou stranu dej opět na společného jmenovatele a čitatel uprav na hezký tvar (polynom).
Pak výsledek porovnej s levou stranou. Uvidíš, že jmenovatelé se rovnají, jsou stejné. Aby platila rovnost, musí se tedy rovnat též čitatelé. To jsou polynomy. Ty se rovnají, když se rovnají jejich koeficienty u všech mocnin. Odtud plynou rovnice pro koeficienty u $x^2,x^1,x^0$ . Tři rovnice o třech neznámých.

ivalenta · 18. 03. 2012 21:53

↑ Andrejka3: napsala bys mi prosím jak to bude vypadat moc jsem to nepochopil a pomohlo by mi kdybych to vyděl děkuji

Andrejka3

↑ ivalenta:
Ještě jeden problém vidím. $x^2+1$ nemá reálný kořen. Podle věty o rozkladu na parciální zlomky ale můžeme rozložit např. takto:
$\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{cx+d}{x^2+1}=\frac{a(x^3+x)+b(x^2+1)+(cx+d)(x^2)}{x^2(x^2+1)}=$
$\frac{(a+c)x^3+(b+d)x^2+(a)x+(b)}{x^2(x^2+1)}$ . To se má rovnat
$\frac{x^2+2}{x^2(x^2+1)}$ . Jak vidíš, jmenovatele se rovnají. Teď se mají taky rovnat čitatelé. Porovnejme koeficienty u mocnin.
U $x^3$ : vlevo je $0$ vpravo je $a+c$ . Musí být $a+c=0$
$x^2$ : $1=b+d$
$x^1$ : $0=a$
$x^0$ : $2=b$
Dostali jsme:
$a=c=0,b=2,d=-1$ .
Zkus to raději ověřit.

Edit: trochu motám co je vlevo a vpravo, vůči tomu jak jsem to napsala v tomto příspěvku. Zde v příspěvku je se slovem vlevo myslí dole. Slovem vpravo se myslí nahoře. Promiň :D