Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 18. 03. 2012 23:42 — Editoval Honza90 (18. 03. 2012 23:42)

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

počet funkcí

Jak by se dal zobecnit vztah pro určení počtu možných funkcí(bijektivních zobrazení) v závislosti počtu prvků v množinách X a Y?

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Honza90)

#2 19. 03. 2012 01:47

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: počet funkcí

↑ Honza90:,
Dve mnoziny X, Y take, ze jedna je bijektivny obraz druhej maju rovnaky pocet prvkov.
Ak je to n, tak pocet bijekcii z x na Y je n!.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 19. 03. 2012 07:09

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: počet funkcí

Tím si nejsem tak jistej pro tri prvky v X a pro tri prvky v Y me vyslo 27 fcí, včetně těch jako treba y=2 (kde vsechny vzory maji jeden obraz)

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#4 19. 03. 2012 09:14

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: počet funkcí

↑ Honza90:,

Ale to neuvazujes  bijekciu.

http://cs.wikipedia.org/wiki/Bijekce

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 19. 03. 2012 14:01

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: počet funkcí

takže fce jako y=kons. nebo y=x^2 nejsou žádným zobrazením?

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#6 19. 03. 2012 14:15 — Editoval vanok (19. 03. 2012 14:27)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: počet funkcí

↑ Honza90:,
Su to funkcie, ale nie bijekivne ako si pisal tu

Jak by se dal zobecnit vztah pro určení počtu možných funkcí(bijektivních zobrazení) v závislosti počtu prvků v množinách X a Y?

Ty si pocital, v priklade co si dal vsetly mozne funkcie ked  X ma 3 prvky ako aj Y .

Ak chces o takych veciach viac vediet najdi si nejake materaily a kombinatorike.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 19. 03. 2012 14:26

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: počet funkcí

jsem právě mylně myslel že jsem to už pochopil :(

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#8 19. 03. 2012 14:29 — Editoval Rumburak (19. 03. 2012 14:42)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: počet funkcí

↑ Honza90:
O zobrazení

(1)               $f: A\to B$  (jehož definiční obor je roven množině A a obor hodnot je částí množiny B)

říkáme, že je bijektivní, právě když f je prosté a zároveň f(A) = B.  Je to tedy zobrazení poměrně speciálních vlastností. 

O počtu všech BIJEKTIVNÍCH zobrazeních (1) se správně vyjádřil kolega  ↑ vanok:.

Pokud Tě zajímá počet ÚPLNĚ VŠECH zobrazaní (1), aniž bychom na ně kladli další podmínky,  pak jejich počet je $|B|^{|A|}$,
kde symbolem |X| je označen počet prvků množiny X. 

Příklad: má-li množina A 3 prvky, např. A ={1,2,3},  a množina B 5 prvků, pak každé zobraení (1) představuje uspořádanou trojici
$(b_1, b_2, b_3)$ , kde $b_1, b_2, b_3 \in B$ , a takových uspořádaných trojic je $5^3$ (vaiace s opakováním).

Případy, kdy každá z množin A, B je alespoň dvouprvková a některá z nich  nekonečná, dají nekonečne mnoho funkcí.
Ale existují nekonečna různých "stupňů" (tzv. nekonečná kardinální čísla), což není triviální a řeší se až v nějaké důkladnější
teorii množin (jako tzv. kardinální aritmetika).

Offline

 

#9 19. 03. 2012 14:32

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: počet funkcí

↑ Honza90:
Skus v tom pripade (ked  X ma 3 prvky ako aj Y) 
A)najst pocet prostych cize injektivnych aplikacii
B) surjektivnych applikacii

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 19. 03. 2012 14:42

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: počet funkcí

↑ Rumburak:
paráda, tušil jsem že to bude něco elegantního, ale pořád mi není jasný ten princip surjekce, např proč y=x^2 není surjektivní zobrazení?

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#11 19. 03. 2012 14:55 — Editoval Rumburak (19. 03. 2012 15:21)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: počet funkcí

↑ Honza90:
Surjekce je velmi relativní pojem. Zda zobrazení

(1)                       $f: A\to B$

je surjekce nebo ne, závisí na tom, jak zvolíme množinu B.  V případě $A=\mathbb{R}$ , $f(x) := x^2$:
volbou $B = [0,+\infty)$  (menší už vzít nemůžeme, nemáme-li zmenšit i množinu A) dostáváme surjekci (f(A) = B),
ale v případě  $B = [0,+\infty) \cup \{-1\}$ už by to surjekce nebyla , protože prvek $-1 \in B$ nemá v A vzor,
což je dáno tím, že rovnice f(x) = -1  nemá v A kořen.

Offline

 

#12 19. 03. 2012 15:28

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: počet funkcí

takže bijekce je bijekcí, je-li zobrazení injektivní a zároveň surjektivní. Ano?

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#13 19. 03. 2012 15:32 — Editoval Rumburak (19. 03. 2012 15:34)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: počet funkcí

↑ Honza90:
Ano, bijekce je zobrazení, které je injektivní a zároveň surjektivní.

Offline

 

#14 19. 03. 2012 15:32 — Editoval vanok (19. 03. 2012 15:40)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: počet funkcí

↑ Honza90:,
Ano, presne tak sa to definuje.

Tu je taky text na osviezenie pojmu funkcie

http://www.mathematica.sk/Funkcie_2/Theory/01Theory.xml

ako aj tu
http://sk.wikipedia.org/wiki/Bijekt%C3%ADvne_zobrazenie

A tu nieco trocha teoretickejsie
http://www.dcs.fmph.uniba.sk/texty/dsmain.pdf

Asi tak na strane 80 a dalsich najdes odpovede na teoreticke orazky o pocte funkcii na konecnych mnozinach.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 19. 03. 2012 15:36

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: počet funkcí

ještě jeden hloupý dotaz: existuje název pro nějaké zobrazení, které je injektivní nebo surjektivní?

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#16 19. 03. 2012 15:55 — Editoval Rumburak (19. 03. 2012 15:57)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: počet funkcí

↑ Honza90:

Já jsem na nic takového nenarazil. 

Ani mě nenapadá, jaký by to mohlo mít smysl: nikdy jsem se nesetkal s matematickou větou, která by s výrokem

                            "zobrazení  f je surjektivní nebo injektivní "

pracovala  ať již jako s předpokladem či jako s tvrzením.

Offline

 

#17 19. 03. 2012 16:09

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   4 
 

Re: počet funkcí

ty skripta jsou pěkný a určitě v nich je všechno na co se ptám, ale není nad elektronický lidský kontakt xD

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson