Matematické Fórum

Mihulik

Ahoj,
už několik hodin se snažím dopočítat koeficienty při následujícím rozkladu:
$\frac{\frac{2}{3}-\frac{x^{2}}{3}}{(x^{2}-x\sqrt{3}+1)(x^{2}+x\sqrt{3}+1)}=\frac{Ax+B}{x^{2}-x\sqrt{3}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+x\sqrt{3}+1}$

Postupnou volbou $x=0,\:\sqrt{3},\:-\sqrt{3},\:1$ jsem získal následující soustavu:
$7\sqrt{3}A+7B+\sqrt{3}C+D=-\frac{1}{3}$
$B+D=\frac{2}{3}$
$-\sqrt{3}A+B-7\sqrt{3}C+7D=-\frac{1}{3}$
$(2+\sqrt{3})A+(2+\sqrt{3})B+(2-\sqrt{3})C+(2-\sqrt{3})D=\frac{1}{3}$

Ač je mi to trapné, s tou soustavou si neumím poradit. Vycházejí mi tam hrozné výrazy a za chvíli se, i s použitím kalkulačky, ztrácím (kalkulačka mi už přestává počítat symbolicky ale začne mi házet přibližné hodnoty).
Zkoušel jsem to přes GEM, ale příliš to nepomohlo...

Wolfram mi soustavu vyřešil bez problému, takže jsem ve výpočtu integrálu, jehož dílčí částí tenhle rozklad je, mohl (úspěšně) pokračovat.

Stejně by mě ale zajímalo, jestli lze tuto soustavu nějak elegantně (tím myslím pouze s tužkou a papírem) vyřešit a nestrávit u toho hodiny a nepřijít o nervy.

Za jakékoliv rady a připomínky budu moc vděčný:)

jelena · 21. 03. 2012 00:00

Zdravím,

možná by bylo vhodné doplnit původní zadání integrálu - třeba se dá volit jiná cesta, než přes takové úpravy. Soustavu jsem ještě nekontrolovala.

jakub.solc · 21. 03. 2012 02:34

Zdravím,

dosazení komplexních kořenů: Asi tři řádky úprav, potom porovnat zvlášť reálnou a imag. složku v obou rovnicích (stačí vždy jedna pro komplexní pár) a řešení je tady.

Mihulik

↑ jelena:
$\int_{}^{}\frac{1}{x^6+1}$
Oficiálně zatím známe jen větu o substituci a per partes.

↑ jakub.solc:
Jakmile dnes přijdu ze školy, tak to vyzkouším.

Zatím moc děkuji.

jakub.solc · 21. 03. 2012 10:13

↑ Mihulik:

Tak až to vyzkoušíš, ještě si kontrolně roznásob závorky, co máš úplně nahoře v zadání, a porovnej s rozkladem x^6 + 1 podle vzorce A^3 + B^3.

Mihulik · 21. 03. 2012 11:44

Za použití komplexních kořenů to byla trivialita.
Takže ještě jednou moc děkuji a poučení pro příště - nebýt líný a nebát se používat komplexní čísla.:)

Děkuji!

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2012 21:19 — Editoval Mihulik (20. 03. 2012 21:21)

Parciální zlomky - koeficienty

#2 21. 03. 2012 00:00

Re: Parciální zlomky - koeficienty

#3 21. 03. 2012 02:34

Re: Parciální zlomky - koeficienty

#4 21. 03. 2012 06:08 — Editoval Mihulik (21. 03. 2012 06:09)

Re: Parciální zlomky - koeficienty

#5 21. 03. 2012 10:13

Re: Parciální zlomky - koeficienty

#6 21. 03. 2012 11:44

Re: Parciální zlomky - koeficienty

Zápatí