Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím všechny, potřeboval bych pomoc. Mám matici 6x6 a potřeboval bych z ní vymámit polynom x^6-3x^5-3x^4-51x^3+14x^2-158x+200=0 nebo se dobrat k vlastním číslům, které taky znám. Takový výsledek mi vyjde při vložení matice do wolframAlphy. Potřeboval bych ,,nějaký lidský" způsob, jak se k tomuto výsledku dostat a hlavně postup, díky za pomoc. Tady je matice
1 2 4 6 8 2
0 0 0 0 3 -1
1 2 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 8
1 0 0 0 0 0
Offline
Charakteristický polynom získáš tak, že spočítáš determinant této matice, jen na diagonále od všech členů odečteš x.
Čili v prvním řádku to bude 1-x, ve druhém -x, ve třetím -x, ve čtvrtém 1-x, atd.
Determinant počítat snad umíš.
Offline
↑ Tychi:
Postup nějaký kontinuální na papíře nemám, ale původní matici jsem upravil na horní trojúhelníkovou matici
1 2 4 6 8 2
0 -2 -4 -6 -8 -2
0 0 -4 -6 -8 -2
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 8
0 0 0 0 0 25
ale výsledný polynom je úplně jiný. Asi to není správný postup, ale jiný mě nenapadá. A determinant ani netuším, jak by se měl u takový matice počítat.
Offline
↑ fikus:
Zdravím,
úpravy bych neprováděla (úpravy bys musel provádět už s dosazeným x do pozic na diagonále (alespoň si to myslím) a i tak úpravy mohou být zdrojem chyb - zde se mi zdá celkem pohodlný rozvoj. Ovšem, když jsem zkoušela Tvou matici ve Wolfram, tak čísla ve výsledku "nejsou hezká", předpokládá se to tak? Nemáš nějaký překlep v zápisu?
Pro vlastní čísla jsou materiály např. zde. Snad pomůže.
Offline
↑ jelena:
Zdravím, čísla nejsou hezká, ale platí. Dva reálné kořeny a čtyři komplexní. Zkusím ještě jednou úpravu i s tím x na diagonále původní matice. Kdyby mi někdo poradil ten rozvoj, byl bych rád. V životě jsem takovou matici nepočítal a doufám, že už počítat nebudu, ale všechno je v životě jednou poprvý ...
Offline
↑ reeb:, ↑ fikus:
děkuji za hlášení a za sestavení týmu :-)
Já bych to neupravovala, zkuste rovnou rozvoj podle nekterého řádku, kde je hodně 0. Návod je zde od slov "Laplace byl hodný pan". Tady máte matici a rozklad v TeX (v polovině textu cca). Potom se uvídí, co se podaří vytknout a rozložit.
Nemám moc podmínky se vám věnovat, tak snad někdo z kolegů. Děkuji.
Offline
Ahoj ↑ fikus:,
Len mala poznamka, aby v buducnosti si mal dokonalu techinku na taketo cvicenia.
Asi budes sklamany, ze ak dufas ze mozes upravovat determinant na vypocet vlastnych hodnot GEM. Treba si uvedomit, ze ti ide o riesenia polynomu forme , kde A je tvoja matica a jej vlastne cisla. Potom iste pochopis ze upravy ako tu ↑ fikus: v tomto probleme ti vobec nepomozu.
Tak jedine co ti odporucim: pouzi dobre rady kolegine ↑ jelena:(ktoru pozdravujem).
A mozes nam napisat, aky je presny text tvojho cvicenia? Nestacia ti priblizne hodnoty?
Offline
1. Určete počet kladných, záporných a komplexních vlastních čísel této matice.
2. Víte, že čísla a=1, b=-1,6595+2,4336i , c=-0,0288-2.0704i jsou kořeny charakteristického polynomu této matice. Najděte nějaké vlastní číslo této matice.
skripta co k tomu mame:
http://leteckaposta.cz/430025943
kdo pomuze ma u mě piva nebo čokoládu (dle pohlaví)
Offline
↑ reeb:
Zdravím,
mohla bych se vymluvit, že mne nezaujala nabídka piva :-) Ale spíš jsem nenašla čas. Ve zkratce, jak bych ten úkol viděla:
1) pokud máš sestaven charakteristický polynom, potom první úloha se vztahuje k určení počtu kladných, záporných a komplexních kořenů tohoto polynomu (tak bych si úlohu přetransformovala a šla studovat materiály k polynomům).
2) a=1 je "přesný" kořen polynomu. Je to tedy vlastní číslo (nebo se to musí ještě ověřit? myslím, že ne - nějak mi to uniká - zkus projít užitečné odkazy 1. 2. 3)
Děkuji kolegům za kritiku.
Offline
↑ reeb:,
Trochu doplnim odpoved kolegine↑ jelena:( a prikladam pozdravy a pekny WE)
Ako vidim, v prvej otazke nejde o presny vypocet vlastnych hodnot matice A.
Treba urcit len ich "poziciu v complexnej rovine"
Tvoje skripta som nemohol prebehnut, lebo tvoj odkaz na ne nie je funkcny ( tak neviem ake teoreticke nastroje mas k dispozicii (ale na jej odpoved, sa da vyhnut presnemu pocitaniu)
Druha otazka ti dava niektore z vlastnych hodnot. Akoze je realny polynom, tak jeho komplexne korene su po dvoch zdruzene.... a to treba vyuzit na urcenie chybajucich vlastnych hodnot.
POZNAMKA: Moja odpoved, nemoze byt kompletnejsia pokial neviem co ste presne uz studovali.
Offline
↑ reeb:
Ahoj.
Sorry za OT ale ja mám radšej čokoládu ako pivo. Pivo nemám rád vôbec. Či ako si to myslel s tým pohlavím? :)
Offline
↑ vanok:
také hezký pozdrav. Doplním přímý odkaz na materiál kolegy.
Z toho, co čtu v tématu, kolega má problém sestavit samotný polynom. Dalšímu zadání rozumím, že je od učitele usnadněno a nejde přímo o použití celé numerické metody na nalezení vlastních čísel, ale o porozumění teoretických předpokladů pro metodu a o použití výstupů z metody.
Ale kolegové už se neozývají, tak bych nechala téma otevřené (a opravdu s časem je potíž, zejména o WE).
↑ pizet:
také je mi záhadou, jak to kolega myslil (já bych si vybrala třetí cestu :-). Konec OT.
Offline
mozno ↑ jelena:
Dakujem za pozdrav.
Ako som to tusil, v prvej etape, je mozno dostatocne pouzit Gershgorin-ovu vetu... alebo nieco ine.
A tiez, ako poznamenavas, je dobre vyuzit teoreticke vlasnosti aby bolo co najmenej vypoctov.
Ale kolegovia maju reflex pocitat, a ani neprecitat pozorne text cvicenia. To je tiez pricina, preco som pytal cely text... a nebolo to zbytocne.
A podla toho co tu mozme vidiet, casto kolegovia davaju neuplne texty, alebo uz interpretovane nimy, a to potom da pomoc do spatneho smeru.
Ani ja cokoladu a ani pivo od nikoho necakam, i ked plzen je jedno z najlepsich ... a ked mam na to chut tak si to sam kupujem.
Offline
↑ vanok:
Je pravda, že nemusím počítat char. polynom, ale zdálo se mi to rozumné, abych určil všechny kořeny. Použil jsem tedy Geršgorinovu větu a vypočítal následující body: A[1,22], B[0,4], C[0,3], D[1,0], E[1,8] a F[0,1]. První číslo v závorce udává střed koule, druhé číslo poloměr koule. Nakreslím souřadnicový systém x,y a nakreslím kružnice se středy na ose x? Vychází mi nějaké soukruží, ze kterého mám určit počet kladných, záporných a komplexních kořenů, jak? Jediné, co se dá stanovit přesně, je bod x=1. Ve skriptech (Baštinec) bohužel chybí obrázek a ve Wolfgramu je to nejednoznačné (podle mě). Poradí někdo? dík.
Offline
↑ fikus:,
Aha, tebe sa podarilo pouzit Gershgorin-ovu vetu na matici, co nie je diagonalne dominantna?
Co som pisal o tom je skor teoreticka moznost...ale nie na tento priklad.... treba najst nieco ine... a jednoduche.
Tak tu mas tu pomoc... tentokrat na tvoje skutocne cvicenie. Akoze mas characteristicky polynom, tak na znamienka jeho realnych korenov staci vysetrit variacie tohto polynomu... a vdaka znamienkam v dobre vybratych bodov urcit poziciu realnych korenov( a pouzi Bolzanovu vetu). ( su aj ine metody, ale tato stredoskolska staci!)
Offline
↑ fikus:,
Polynom, je jednoducho vdaka napriklad Laplace-ovemu rozvoju najst ( a to som myslel, ze je to bez problemov pre teba, a akoze ten determinant ma vela nul, vypocet, je skor jednoduchy). Posledna pomoc, co som ti dal, je platna za podmienky, ze ho mas.
A uplne na zaciatku si neni, lebo aspon vies, ze pouzit vety, teraz vies, ze to nie je mozne, len ked su splnene hypotezy...ako na Gershgorin-ovu vetu ( tak taku chybu, dufam, ze uz neurobis, a to je ozaj pozitivne).
Cize do tvojho puzzlu ti chybaju dve (jednoduche )veci: variacie charakteristickeho polynomu, a podrobny jeho vypocet vdaka rozvoju determinantu.
Tak zacni tymy variaciamy.
Offline
Variace polynomu mohu provádět, až když ho znám. V tom nevidím problem. Pomocí Descartesovy věty odhadnu počet kladných a záporných kořenů a pomocí Sturmovy věty intervaly, ve kterých kořeny leží atd. Ale já mám problém z matice 6x6 dostat charakteristický polynom, tzn. asi podrobný výpočet pomocí rozvoje determinantu. Jsou zde na fóru nějaké příklady, ale nejvýše 4x4.
Offline
Postup je u větších matic stejný.
Zkus kouknout na tohle http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/prif … minant.pdf
Offline
↑ fikus:,
Ano tie ine vety su tiez pouzitelne.... ak su splnene hypotezy.
Mozes tu napisat Laplace-ovu vetu?
ako rozvinies tento determinant?
pisem ho vo forme ako si sam vyssie uviedol v tvojom prvom prispevku ( z x a nie , ako je zvykom).
(Trochu som prekvapeny, ze poznas vety, co malo studentov pozna ale na jednoduchych veciach mas nejaku blokadu)
Zaciatok vypoctu:
Treba pocitat tento determinant
1-x 2 4 6 8 2
0 -x 0 0 3 -1
1 2 -x 0 0 0
0 0 0 1-x 0 0
0 0 0 0 1-x 8
1 0 0 0 0 -x
Vsimni si ze 4ty riadok ma jediny nenulovy prvok 1-x
vdaka Laplace-ovej vete mame
(vsetki nulove cleny su nenapisane)
kde je determninant kofaktor (4,4) ... no urci ho a pokracuj
A potom znovu mozes pouzit viac krat tu istu vetu.
Offline
Aj ked sa mi to zda prekvapive, davam sem na osviezenie Laplace-ovu vetu o rozvoji determinantov
Nech je jedna matica typu
Vzorec na rozvoj podla stlpce j:
Vzorecna rozvoj podla stlpca i
kde kofaktorovy determinant (cofacteur) je
Offline