Matematické Fórum

fikus · 30. 03. 2012 11:32

Zdravím všechny, potřeboval bych pomoc. Mám matici 6x6 a potřeboval bych z ní vymámit polynom x^6-3x^5-3x^4-51x^3+14x^2-158x+200=0 nebo se dobrat k vlastním číslům, které taky znám. Takový výsledek mi vyjde při vložení matice do wolframAlphy. Potřeboval bych ,,nějaký lidský" způsob, jak se k tomuto výsledku dostat a hlavně postup, díky za pomoc. Tady je matice

1 2 4 6 8 2
0 0 0 0 3 -1
1 2 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 8
1 0 0 0 0 0

Tychi · 30. 03. 2012 12:16

Charakteristický polynom získáš tak, že spočítáš determinant této matice, jen na diagonále od všech členů odečteš x.
Čili v prvním řádku to bude 1-x, ve druhém -x, ve třetím -x, ve čtvrtém 1-x, atd.
Determinant počítat snad umíš.

fikus · 30. 03. 2012 12:34

↑ Tychi:No a právě determinant mi dělá problémy. Charakteristický polynom to bych věděl, ale nevychází mi to. Proto potřebuji nějaký konkrétní postup, jak se dosíci výsledku, řekl bych vysvětlení polopatě.

Tychi · 30. 03. 2012 14:15

Tak sem hoď fotku tvého postupu, třeba tam chybu najdeme.

fikus · 30. 03. 2012 18:21

↑ Tychi:

Postup nějaký kontinuální na papíře nemám, ale původní matici jsem upravil na horní trojúhelníkovou matici

1 2 4 6 8 2
0 -2 -4 -6 -8 -2
0 0 -4 -6 -8 -2
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 8
0 0 0 0 0 25

ale výsledný polynom je úplně jiný. Asi to není správný postup, ale jiný mě nenapadá. A determinant ani netuším, jak by se měl u takový matice počítat.

jelena · 31. 03. 2012 09:19

↑ fikus:

Zdravím,

úpravy bych neprováděla (úpravy bys musel provádět už s dosazeným x do pozic na diagonále (alespoň si to myslím) a i tak úpravy mohou být zdrojem chyb - zde se mi zdá celkem pohodlný rozvoj. Ovšem, když jsem zkoušela Tvou matici ve Wolfram, tak čísla ve výsledku "nejsou hezká", předpokládá se to tak? Nemáš nějaký překlep v zápisu?

Pro vlastní čísla jsou materiály např. zde. Snad pomůže.

reeb · 31. 03. 2012 10:38 — Editoval reeb (31. 03. 2012 10:49)

Zápis je v pořádku, take ten ukol řeším..

fikus · 31. 03. 2012 11:27

↑ jelena:
Zdravím, čísla nejsou hezká, ale platí. Dva reálné kořeny a čtyři komplexní. Zkusím ještě jednou úpravu i s tím x na diagonále původní matice. Kdyby mi někdo poradil ten rozvoj, byl bych rád. V životě jsem takovou matici nepočítal a doufám, že už počítat nebudu, ale všechno je v životě jednou poprvý ...

jelena · 31. 03. 2012 13:19

↑ reeb:, ↑ fikus:

děkuji za hlášení a za sestavení týmu :-)

Já bych to neupravovala, zkuste rovnou rozvoj podle nekterého řádku, kde je hodně 0. Návod je zde od slov "Laplace byl hodný pan". Tady máte matici a rozklad v TeX (v polovině textu cca). Potom se uvídí, co se podaří vytknout a rozložit.

Nemám moc podmínky se vám věnovat, tak snad někdo z kolegů. Děkuji.

vanok · 31. 03. 2012 13:22 — Editoval vanok (01. 04. 2012 12:52)

Ahoj ↑ fikus:,
Len mala poznamka, aby v buducnosti si mal dokonalu techinku na taketo cvicenia.

Asi budes sklamany, ze ak dufas ze mozes upravovat determinant na vypocet vlastnych hodnot GEM. Treba si uvedomit, ze ti ide o riesenia polynomu forme $|A-\lambda I|=0$ , kde A je tvoja matica a $\lambda$ jej vlastne cisla. Potom iste pochopis ze upravy ako tu ↑ fikus: v tomto probleme ti vobec nepomozu.
Tak jedine co ti odporucim: pouzi dobre rady kolegine ↑ jelena:(ktoru pozdravujem).

A mozes nam napisat, aky je presny text tvojho cvicenia? Nestacia ti priblizne hodnoty?

reeb · 31. 03. 2012 14:57 — Editoval reeb (31. 03. 2012 14:59)

1. Určete počet kladných, záporných a komplexních vlastních čísel této matice.

2. Víte, že čísla a=1, b=-1,6595+2,4336i , c=-0,0288-2.0704i jsou kořeny charakteristického polynomu této matice. Najděte nějaké vlastní číslo této matice.

skripta co k tomu mame:

http://leteckaposta.cz/430025943

kdo pomuze ma u mě piva nebo čokoládu (dle pohlaví)

jelena · 01. 04. 2012 12:36

↑ reeb:

Zdravím,

mohla bych se vymluvit, že mne nezaujala nabídka piva :-) Ale spíš jsem nenašla čas. Ve zkratce, jak bych ten úkol viděla:

1) pokud máš sestaven charakteristický polynom, potom první úloha se vztahuje k určení počtu kladných, záporných a komplexních kořenů tohoto polynomu (tak bych si úlohu přetransformovala a šla studovat materiály k polynomům).

2) a=1 je "přesný" kořen polynomu. Je to tedy vlastní číslo (nebo se to musí ještě ověřit? myslím, že ne - nějak mi to uniká - zkus projít užitečné odkazy 1. 2. 3)

Děkuji kolegům za kritiku.

vanok · 01. 04. 2012 13:01

↑ reeb:,
Trochu doplnim odpoved kolegine↑ jelena:( a prikladam pozdravy a pekny WE)
Ako vidim, v prvej otazke nejde o presny vypocet vlastnych hodnot matice A.
Treba urcit len ich "poziciu v complexnej rovine"
Tvoje skripta som nemohol prebehnut, lebo tvoj odkaz na ne nie je funkcny ( tak neviem ake teoreticke nastroje mas k dispozicii (ale na jej odpoved, sa da vyhnut presnemu pocitaniu)
Druha otazka ti dava niektore z vlastnych hodnot. Akoze $|A-\lambda I|=0$ je realny polynom, tak jeho komplexne korene su po dvoch zdruzene.... a to treba vyuzit na urcenie chybajucich vlastnych hodnot.

POZNAMKA: Moja odpoved, nemoze byt kompletnejsia pokial neviem co ste presne uz studovali.

pizet · 01. 04. 2012 13:02 — Editoval pizet (01. 04. 2012 13:02)

↑ reeb:

Ahoj.

Sorry za OT ale ja mám radšej čokoládu ako pivo. Pivo nemám rád vôbec. Či ako si to myslel s tým pohlavím? :)

jelena · 01. 04. 2012 15:33

↑ vanok:

také hezký pozdrav. Doplním přímý odkaz na materiál kolegy.

Z toho, co čtu v tématu, kolega má problém sestavit samotný polynom. Dalšímu zadání rozumím, že je od učitele usnadněno a nejde přímo o použití celé numerické metody na nalezení vlastních čísel, ale o porozumění teoretických předpokladů pro metodu a o použití výstupů z metody.

Ale kolegové už se neozývají, tak bych nechala téma otevřené (a opravdu s časem je potíž, zejména o WE).

↑ pizet:

také je mi záhadou, jak to kolega myslil (já bych si vybrala třetí cestu :-). Konec OT.

vanok · 01. 04. 2012 15:51 — Editoval vanok (01. 04. 2012 22:53)

mozno ↑ jelena:
Dakujem za pozdrav.
Ako som to tusil, v prvej etape, je mozno dostatocne pouzit Gershgorin-ovu vetu... alebo nieco ine.
A tiez, ako poznamenavas, je dobre vyuzit teoreticke vlasnosti aby bolo co najmenej vypoctov.
Ale kolegovia maju reflex pocitat, a ani neprecitat pozorne text cvicenia. To je tiez pricina, preco som pytal cely text... a nebolo to zbytocne.
A podla toho co tu mozme vidiet, casto kolegovia davaju neuplne texty, alebo uz interpretovane nimy, a to potom da pomoc do spatneho smeru.

Ani ja cokoladu a ani pivo od nikoho necakam, i ked plzen je jedno z najlepsich ... a ked mam na to chut tak si to sam kupujem.

fikus · 01. 04. 2012 22:30

↑ vanok:
Je pravda, že nemusím počítat char. polynom, ale zdálo se mi to rozumné, abych určil všechny kořeny. Použil jsem tedy Geršgorinovu větu a vypočítal následující body: A[1,22], B[0,4], C[0,3], D[1,0], E[1,8] a F[0,1]. První číslo v závorce udává střed koule, druhé číslo poloměr koule. Nakreslím souřadnicový systém x,y a nakreslím kružnice se středy na ose x? Vychází mi nějaké soukruží, ze kterého mám určit počet kladných, záporných a komplexních kořenů, jak? Jediné, co se dá stanovit přesně, je bod x=1. Ve skriptech (Baštinec) bohužel chybí obrázek a ve Wolfgramu je to nejednoznačné (podle mě). Poradí někdo? dík.

vanok · 01. 04. 2012 22:49 — Editoval vanok (01. 04. 2012 23:14)

↑ fikus:,
Aha, tebe sa podarilo pouzit Gershgorin-ovu vetu na matici, co nie je diagonalne dominantna?
Co som pisal o tom je skor teoreticka moznost...ale nie na tento priklad.... treba najst nieco ine... a jednoduche.

Tak tu mas tu pomoc... tentokrat na tvoje skutocne cvicenie. Akoze mas characteristicky polynom, tak na znamienka jeho realnych korenov staci vysetrit variacie tohto polynomu... a vdaka znamienkam v dobre vybratych bodov urcit poziciu realnych korenov( a pouzi Bolzanovu vetu). ( su aj ine metody, ale tato stredoskolska staci!)

fikus · 02. 04. 2012 09:09

Ale to jsme zase na začátku. Mám zadanou matici a vím, že má vyjít takový polynom. Problém je ten, že nevím jakým způsobem dostat ten polynom. Někdo se tady zmiňoval o rozvinutí, ale nevím, jakým způsobem to funguje.

vanok · 02. 04. 2012 09:37

↑ fikus:,

Polynom, $|A-\lambda I|=0$ je jednoducho vdaka napriklad Laplace-ovemu rozvoju najst ( a to som myslel, ze je to bez problemov pre teba, a akoze ten determinant ma vela nul, vypocet, je skor jednoduchy). Posledna pomoc, co som ti dal, je platna za podmienky, ze ho mas.
A uplne na zaciatku si neni, lebo aspon vies, ze pouzit vety, teraz vies, ze to nie je mozne, len ked su splnene hypotezy...ako na Gershgorin-ovu vetu ( tak taku chybu, dufam, ze uz neurobis, a to je ozaj pozitivne).
Cize do tvojho puzzlu ti chybaju dve (jednoduche )veci: variacie charakteristickeho polynomu, a podrobny jeho vypocet vdaka rozvoju determinantu.

Tak zacni tymy variaciamy.

fikus · 02. 04. 2012 13:14

Variace polynomu mohu provádět, až když ho znám. V tom nevidím problem. Pomocí Descartesovy věty odhadnu počet kladných a záporných kořenů a pomocí Sturmovy věty intervaly, ve kterých kořeny leží atd. Ale já mám problém z matice 6x6 dostat charakteristický polynom, tzn. asi podrobný výpočet pomocí rozvoje determinantu. Jsou zde na fóru nějaké příklady, ale nejvýše 4x4.

Tychi · 02. 04. 2012 13:55 — Editoval Tychi (02. 04. 2012 14:01)

Postup je u větších matic stejný.
Zkus kouknout na tohle http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/prif … minant.pdf

vanok · 02. 04. 2012 14:42 — Editoval vanok (02. 04. 2012 20:50)

↑ fikus:,
Ano tie ine vety su tiez pouzitelne.... ak su splnene hypotezy.

Mozes tu napisat Laplace-ovu vetu?
ako rozvinies tento determinant?

pisem ho vo forme $|A-x I|=0$ ako si sam vyssie uviedol v tvojom prvom prispevku ( z x a nie $\lambda$ , ako je zvykom).
(Trochu som prekvapeny, ze poznas vety, co malo studentov pozna ale na jednoduchych veciach mas nejaku blokadu)

Zaciatok vypoctu:

Treba pocitat tento determinant
1-x 2 4 6 8 2
0 -x 0 0 3 -1
1 2 -x 0 0 0
0 0 0 1-x 0 0
0 0 0 0 1-x 8
1 0 0 0 0 -x

Vsimni si ze 4ty riadok ma jediny nenulovy prvok 1-x

vdaka Laplace-ovej vete mame

$|A|=(1-x)(-1)^{4+4}{\rm Cof}_{4,4}$ (vsetki nulove cleny su nenapisane)

kde ${\rm Cof}_{4,4}$ je determninant kofaktor (4,4) ... no urci ho a pokracuj

A potom znovu mozes pouzit viac krat tu istu vetu.

Ondroush · 02. 04. 2012 20:01

Budu asi trapnej ale tuto úlohu řeším a bohužel jsem se výsledku nedobral...nemohl by tu poslední příspěvek někdo rozebrat jak ho počítat? Zkoušel jsem to dát do kupy dle výše uvedených podkladů ale výsledkem je zmatek :-)

vanok · 02. 04. 2012 20:34

Aj ked sa mi to zda prekvapive, davam sem na osviezenie Laplace-ovu vetu o rozvoji determinantov

Nech $A= (a_{i;j})$ je jedna matica typu $(n;n)$

Vzorec na rozvoj podla stlpce j:

$\det{A}=\sum_{i=1}^{n} a_{i,j} {\rm Cof}_{i,j}$
Vzorecna rozvoj podla stlpca i

$\det{A}=\sum_{j=1}^{n} a_{i,j} {\rm Cof}_{i,j}$

kde kofaktorovy determinant (cofacteur) je

${\rm Cof}_{i,j}=(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \dots & a_{1,n} \\\vdots & & \vdots & \vdots& &\vdots\\ a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \dots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \dots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\ a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \dots & a_{n,n}\end{vmatrix}$

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2012 11:32

Matice 6x6

#2 30. 03. 2012 12:16

Re: Matice 6x6

#3 30. 03. 2012 12:34

Re: Matice 6x6

#4 30. 03. 2012 14:15

Re: Matice 6x6

#5 30. 03. 2012 18:21

Re: Matice 6x6

#6 31. 03. 2012 09:19

Re: Matice 6x6

#7 31. 03. 2012 10:38 — Editoval reeb (31. 03. 2012 10:49)

Re: Matice 6x6

#8 31. 03. 2012 11:27

Re: Matice 6x6

#9 31. 03. 2012 13:19

Re: Matice 6x6

#10 31. 03. 2012 13:22 — Editoval vanok (01. 04. 2012 12:52)

Re: Matice 6x6

#11 31. 03. 2012 14:57 — Editoval reeb (31. 03. 2012 14:59)

Re: Matice 6x6

#12 01. 04. 2012 12:36

Re: Matice 6x6

#13 01. 04. 2012 13:01

Re: Matice 6x6

#14 01. 04. 2012 13:02 — Editoval pizet (01. 04. 2012 13:02)

Re: Matice 6x6

#15 01. 04. 2012 15:33

Re: Matice 6x6

#16 01. 04. 2012 15:51 — Editoval vanok (01. 04. 2012 22:53)

Re: Matice 6x6

#17 01. 04. 2012 22:30

Re: Matice 6x6

#18 01. 04. 2012 22:49 — Editoval vanok (01. 04. 2012 23:14)

Re: Matice 6x6

#19 02. 04. 2012 09:09

Re: Matice 6x6

#20 02. 04. 2012 09:37

Re: Matice 6x6

#21 02. 04. 2012 13:14

Re: Matice 6x6

#22 02. 04. 2012 13:55 — Editoval Tychi (02. 04. 2012 14:01)

Re: Matice 6x6

#23 02. 04. 2012 14:42 — Editoval vanok (02. 04. 2012 20:50)

Re: Matice 6x6

#24 02. 04. 2012 20:01

Re: Matice 6x6

#25 02. 04. 2012 20:34

Re: Matice 6x6

Zápatí