Matematické Fórum

andulkas · 01. 04. 2012 00:38

ahojky
prosímvás jak se sestavuje binomická rovnice co možno nejnižšího stupně, když znám dva určité kořeny $x_1=i , x_2=cis(-54°)$
děkuji za poradění

zdenek1 · 01. 04. 2012 08:20

↑ andulkas:
pro úhly musí platit
$\varphi _i=\frac{\alpha +360i}{n}=90$ ( $i$ tady není imaginární jednotka, ale index)
$\varphi _j=\frac{\alpha +360j}{n}=306$
odečtením
$360(j-i)=216n\ \Rightarrow\ n=\frac{(j-i)360}{216}=\frac{(j-i)5}3$ nejmenší hodnota, pro kterou je tento výraz přirozené číslo je $j-i=3$ , pak $n=5$
Zbytek by měl být už snadný

vanok · 01. 04. 2012 11:25

Ahoj ↑ andulkas:,
Dam ti este trochu inu metodu ako kolega ↑ zdenek1: (ktoreho pozdravujem)

Binomicka rovnica je rovnica typu :
$x^n-1=0$

Tvoje cvicenie, sa da vyriesit na dve etapy
1) hladat pre $x_1; x_2$ , take najmensie cisla k, l; ze $x_1^k=1$ a $x_2^l=1$ .
2) potom najdes najmensi spolocny nasobok oboch predoslych cisiel, m. A potom hladana rovnica je:
$x^m-1=0$

1)a) pre $x_1=i$ mame $x_1^4=1$
b) pre $x_2= cis (-54°)=cos(-54°)+i sin (-54°)$ mame $x_2^{20} =1$

Vyuzi toto na dokoncenie cvicenia

andulkas · 01. 04. 2012 23:51

↑ zdenek1:↑ vanok:
takže je to rovnice x^5-i=0?

vanok · 01. 04. 2012 23:58

↑ andulkas:,
Vsetko zavisi, ako ste definovali binomicku rovnicu. Definicia co poznam je takato
$x^n-1=0$ je binomicka rovnica, $n\in N$
A vy ste videli nejaku inu?

andulkas

↑ vanok:
ano viděli třeba tu
http://cs.wikipedia.org/wiki/Binomick%c3%a1_rovnice

a myslím že to by to aji mohlo vycházet
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5-i%3D0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28-54%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28-54%29

vanok · 02. 04. 2012 12:41

↑ andulkas:,
Ak mas taku definiciu co pises, je tvoja odpoved spravna.

A podla mojej definicie odpoved je
$x^{20}-1=0$

Cize vidis, treba niekedy zopakovat pri rieseni definiciu, aby bolo iste na co odpovedas.

andulkas · 03. 04. 2012 00:00

a teď nevím jestli mám založit nové téma nebo to dáti sem
ještě mě zajímají reciproké rovnice a jejich sestavení nejnižšího možného stupně pokud znám jeden koen.
v tomto případě x=1+i

vanok · 03. 04. 2012 00:11

↑ andulkas:,
Podla tvojej definicie
Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru $x^n-a=0$ s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo

Mozme povedat ze pre $n=1$ a $a=1+i$ je hladane riesenie.

Podla mojej definicie, nema tvoj problem riesenie, lebo modul 1+i nie je 1.

Pripadne ak ide o riesenie rovnice $x^n-a=0$ , kde a je cele cislo... goniometricka forma 1+i podla tvojho zapisu( na zaciatku )je $\sqrt 2 cis (45°)$
a mame vdaka tomu ze (1+x)^8 = 16; co da rovnicu $x^8=16$

andulkas · 03. 04. 2012 11:50

↑ vanok:
jo ale ted myslim reciprokou rovnici

vanok · 03. 04. 2012 12:26 — Editoval vanok (03. 04. 2012 12:56)

↑ andulkas:,
Aha, no bol som nepozorny, vynimocne tu dam jedno riesenie.
na priklad
$ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ je realna reciprocna rovnica 4°, kde a, b su realne ( a adpon jedno nenulove)
a da sa pisat po deleni z $x^2$ aj ako
$ax^2 + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^2} = 0$
(obe ekuivalentne lebo 0 nie je koren prvej rovnice)
a z toho mame, ze ak $x_0$ je jeden jej koren tak aj $\frac 1 {x_0}$ je tiez jej koren.
Tak treba zacat skusat
Ale vypocitajme najprv $\frac 1{1+i}=\frac {1-i}2$
Realne reciprocne rovnice stupna 2 su typu
$ax +b +a\frac 1x=0$
ak dane komplexne cislo $1+i$ jej koren tak
$a(1+i) +b + a\frac {1-i}2=0$
cize
$a+ b + a\frac 12 +ia(1- \frac 12)=0$
alebo
$a\frac 32 +b=0\\ a\frac 12=0$
co da $a=b=0$
Cize to nam nedalo realnu reciprocnu rovnicu 2°.

V komplexnom pripade mame
$a\frac 32 +b+i a\frac 12=0$
$3+2\frac ba =-i$
cize
$b=-\frac{3a+i}2$
Pre $a =1$ mame $b=-\frac{3+i}2$
Co nam da jednu komplexnu reciprocnu rovnicu, ktora vyhovuje, tvojmu cviceniu
$x^2-\frac{3+i}2x+1=0$
alebo
$x-\frac{3+i}2 +\frac 1x=0$

V pripade ze ti ide o realnu rovnicu:

tak mozes touto metodou pokracovat.....az do najdenia rovnice; alebo dokazat ze je to nemozne.

Poznamka: ak chces vediet trochu viac a reciprocnych polybomoch tak mozes sa pozriet na toto
http://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal_polynomial