Matematické Fórum

elypsa · 22. 04. 2012 13:46

Zdravím,

mám tu příklad z Petákové s kterým se mi nedaří hnout.

Součet tří po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je 9. První číslo necháme, druhé číslo zvětšíme o 12 a třetí číslo zmenšíme o 3. Dostaneme tak tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete původní trojici čísel a proveďte zkoušku.

Trochu naznačím kam jsem došel..

členy jsem si označil x;y;z

Platí pro ně, že součet GP těchto členů je roven 9.

$x+y+z=9$

dále z věty o AP mohu zjistit, že součet 3 členů AP je
$9+12-3=s_{3}\\s_{3}=18$
Z toho vím teda, že
$18=\frac{3}{2}(x+z)\\12=x+z\\z=12-x$

a dále vím, že pro GP platí
$a_{1}\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=s_3\\x\cdot \frac{q^3-1}{q-1}=9$
Kvocient se pokusím vyjádřit aby obsahoval x a z, takže pokud se nepletu
$a_3=z=a_1*q^2\\z=x\cdot q^2\\\frac{z}{x}=q^2$
$z=12-x$
proto
$\frac{12-x}{x}=q^2$

Což když dosadím do

$x\cdot \frac{q^3-1}{q-1}=9$
Tak se mi nedaří vypočítat...

Nešlo by to nějak jednodušeji?:)

Díky!

mal84 · 22. 04. 2012 15:14

↑ elypsa:
Zdravím...

Označíme se dané tři členy $x,y,z$ .
Pak $x,y,z$ tvoří geometrickou posloupnost, a členy $x, y+12, z-3$ aritmetickou posloupnost.
Platí: $x+y+z=9$
$\frac{y}{x}=\frac{z}{y}$ (plyne z toho, x,y,z tvoří GP, kvocient musí být stejný pro podíl sousedních členů))
$(y+12)-x=(z-3)-(y+12)$ (plyne z toho, že dané členy tvoří AP - diference sousedních členů musí být stejná).

Dostali jsme tedy soustavu tří rovnic o 3 neznámých.
Např. z 1. a 3. rovnice vypočítáme $y=-6$ , zbylé dvě neznámé dopočtem...

Výsledkem jsou 2 řešení: $(x,y,z)=(3,-6,12)$ a $(x,y,z)=(12,-6,3)$ .

zdenek1 · 22. 04. 2012 15:20

↑ elypsa:
Součet GP: $a_1(1+q+q^2)=9\ \Rightarrow a_1=\frac{9}{1+q+q^2}$ (1)

AP: $b_1=a_1$
$b_2=a_2+12=a_1q+12$
$b_3=a_3-3=a_1q^2-3$

V každé AP platí: $b_2-b_1=b_3-b_2$ , dosadíš
$a_1q+12-a_1=a_1q^2-3-a_1q-12$
$2a_1q+27=a_1(q^2+1)$ dosadíš z (1)
$\frac{18q}{1+q+q^2}+27=\frac{9(q^2+1)}{1+q+q^2}$
$2q+3(1+q+q^2)=q^2+1$
vypošítáš $q$ a je to