Matematické Fórum

matoxy · 01. 11. 2008 22:14 — Editoval matoxy (01. 11. 2008 22:15)

Pekný večer,

nedávno som narazil na takýto príklad: Cieľ leži v šikmej vzdialenosti d=6000m pod polohovým uhlom fí=30 stupňov. Aká musí by? minimálna počiatočná rýchlos?strely,aby bol cieľ zasiahnutý? aký elevačný uhol odpoveda tejto rýchlosti?

Počítal som takto: Z polohového uhla som si určil výšku cieľa a jeho vzdialenos? od bodu výstrelu. Dostal som teda x-ovúv a y-ovú súradnicu cieľa. Skúšal som výs? z rovníc pre polohu projektilu vo vákuu ak poznáme čas letu elevačný uhol a počiatočnú rýchlos?, avšak to mám dve rovnice o troch neznámych. Inštinkt mi však hovorí, že ten čas by mal nejak závysie? na počiatočnej rýchlosti a elevačnom uhle.

Nevedel by niekto nejaký nápad?

rughar · 02. 11. 2008 00:42 — Editoval rughar (02. 11. 2008 01:03)

↑ matoxy:

Co třeba vzít cíl a kanón a těmato dvěma body proložit osu x? Osa y bude kolmá. Pak se to malinko zjednoduší. Akorát gravitační zrychlení nebude mířit přímo dolů, ale trochu šikmo. Rovnice v těchto souřadnicích pak budou vypadat takto.

$x = v_{x0} t-\frac{1}{2}g_x t^2$
$y = v_{y0} t-\frac{1}{2}g_y t^2$

$g_x = g Sin(\alpha)$
$g_y = g Cos(\alpha)$

Úhlem beta si označím úhel, který bude svírat vektor počáteční rychlosti s naší osou x. Pak bude platit

$d = v t Sin(\beta) - \frac{1}{2}g_x t^2$
$0 = v t Cos(\beta) - \frac{1}{2}g_y t^2$

v představuje velikost rychlosti. Z druhé rovnice můžeme velmi jednoduše vyjádřit čas (jedním je t = 0, ale ten nás nezajímá)

$\frac{2v}{g_y} Cos(\beta) = t$

Dosadíme do první rovnice a dostáváme

$d = v \frac{2v}{g_y} Cos(\beta) Sin(\beta) - \frac{1}{2}g_x (\frac{2v}{g_y} Cos(\beta))^2$

Po úpravě

$d g_y = v^2 Sin(2 \beta) - 2 v^2 Tan(\alpha) Cos^2(\beta)$

Nyní se snažíme volit takovou hodnotu beta, aby hodnota v byla minimální. Můžeme dál psát

$\frac{d g_y}{Sin(2 \beta)-2 Tan(\alpha) Cos^2(\beta)} = v^2$
$\frac{d g_y}{Sin(2 \beta)-2 Tan(\alpha) Cos^2(\beta)} = min$

Tato podmínka je splněna, pokud

$Sin(2 \beta) - Tan(\alpha) Cos^2(\beta) = max$

Extrémy funkcí se hladají metdou nulové derivace. Zderivujeme výraz jako funkci závislou na beta a následně derivaci položíme rovnu nule.

$Sin(2 \beta)-2 Tan(\alpha) Cos^2(\beta) = f(\beta)$
$f'(beta) = 2 Cos(2 \beta) + 2 Sin(2 \beta) Tan(\alpha)= 0$
$Cotan(2 \beta) = - Tan(\alpha))$

Řešením je tedy zjevně

$\beta = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Tím je vyřešen úhel. k výpočtu rychlosti můžeme využít vztah, ke kterému jsme došli někde v půli cesty

$\frac{d g Cos(\alpha)}{Sin(2 \beta)+2 Tan(\alpha) Cos^2(\beta)} = v^2$

Můžeme ještě pro úplné vyjádření dosadit za hodnotu úhlo beta

$\frac{d g Cos(\alpha)}{Sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)+2 Tan(\alpha) Cos^2(\frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - \alpha))} = v^2$
$\frac{d g Cos(\alpha)}{Cos(\alpha) + Tan(\alpha) (1 + Sin(\alpha))} = v^2$

matoxy · 03. 11. 2008 09:23

zdravím rughar,

pootoči? ten súradnicový systém ma nenapadlo, lebo som tak asi ešte nepočítal, no keď som sa na to čo si napísal pozrel z bližšia, tak to vyzerá celkom prosto.
ďakujem

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2008 22:14 — Editoval matoxy (01. 11. 2008 22:15)

Šikmí vrh

#2 02. 11. 2008 00:42 — Editoval rughar (02. 11. 2008 01:03)

Re: Šikmí vrh

#3 03. 11. 2008 09:23

Re: Šikmí vrh

Zápatí