Matematické Fórum

Dalsi Uzivatelske Jmeno

Všechny zdravím, chyběla jsem na přednášku z lineárních zobrazení, zkoušela jsem to dostudovat, ale jak dojde na příklady, tak to vůbec nechápu, skripta mi přijdou celkem k ničemu, můžete mi někdo prosím pomoct s třeba s tímto příkladem, vlastně nevím, co mám dělat:

Rozhodni zda je zobrazení $\varphi :V_{3}(\mathbb{R}) \Rightarrow V_{3}(\mathbb{R})$ definované předpisem $\varphi (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}+x_{2}, x_{3}, x_{3})$ je lineární zobrazení, pokud ano, rozhodni zda je izomorfní, urči matici zobrazení, $Ker\varphi$ a $Im\varphi$

Vyšlo mi, že je lineární, ověřila jsem takové ty dvě podmínky o násobení skalárem a tu druhou s tím sčítáním, to chápu. Zbytek už asi ne.

Mám teorii jak udělat tu matici, to by měla být zobrazená báze, nebo ne? Tady asi ta standardní, takže takto?
$\varphi (1, 0, 0) = (2, 0, 0)$
$\varphi (0, 1, 0) = (1, 0, 0)$
$\varphi (0, 0, 1) = (0, 1, 1)$

A ty tři vektory, co mi vyšly by tvořily tu matici?

Pak když mám určit třeba to $Ker \varphi$ , tak to jsou takové vektory, které když zobrazím, tak dostanu nulový vektor? To už ale vůbec nevím, jak mám zjistit. Jestli to chápu správně, tak odhadem by to mohl být jakýkoliv vektor, který bude mít třetí složku nula a první dvě budou opačná čísla? Ale jak to formálně spočítat nevím. No a $Im\varphi$ nechápu ani za mák.

Pomůžete mi prosím někdo?

Dalsi Uzivatelske Jmeno

Našla jsem příklad, který mi to možná trochu pomohl, když chci určit $Ker \varphi$ , řeším vlastně soustavu:
$x_{1}+x_{2}=0$
$x_{3}=0$
$x_{3}=0$

Z čehož usoudím, že $x_{3}=0$ a $x_{1}=-x_{2}$
Takže si zvolím parametr $x_{1}= t$ a pak $Ker\varphi =\{(t,-t,0)\}$
Někde jsem našla poznámku, že dimenze jádra závisí na počtu parametrů, takže by dimenze pak byla 1? Ale to jádro určitě ještě není výsledek, měl by to být konkrétní vektor(y) s čísly, nevím, jak to dostanu z toho zápisu s parametrem, který mám.

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 12. 05. 2012 16:38

A když chci spočítat $Im\varphi$ , tak když se řídím příkladem co mám, tak bych dělala takovéhle úpravy:

$(x_{1}+x_{2},x_{3}, x_{3})= (x_{1}, 0, 0) + (x_{2}, 0,0) + (0, x_{3},x_{3})=$

$=(1, 0, 0)x_{1}+ (1, 0, 0) x_{2} + (0,1,1)x_{3}$

Z čehož bych vybrala lineárně nezávislé vektory a to by bylo ono? Takže (1, 0, 0) a (0, 1, 1) ? A dimenze 2?

vosa · 12. 05. 2012 17:08

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:
Obrazy vektorů báze skutečně tvoří sloupce matice zobrazení fí ve standardní bázi. Akorát jsi špatně spočítala ten první, má vyjít (1,0,0).
$^\varepsilon \varphi = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Jak vidíš tak matice má hodnost 2, takže i hodnost zobrazení $\varphi$ je 2, hodnost jeho jádra je tedy 1. Zobrazení tedy není monomorfní ani epimorfní, natož izomorfní.

vosa · 12. 05. 2012 17:15

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:
Při hledání jádra řešíš přesně tuto soustavu, jak vidíš, její matice je totožná s maticí $^\varepsilon \varphi$ Už víme, že jádro má dimenzi 1, takže jeho bázi bude tvořit jeden vektor. Pokud nevíš, jak získat konkrétní vektor s čísly, tak věz, že za ten parametr t stačí jen dosadit libovolné číslo, třeba 1.
pak získáš vektor (1, -1, 0), což je bazický vektor jádra :) Jinými slovy, jádro je lineárním obalem vektoru (1,-1,0)

Dalsi Uzivatelske Jmeno

Děkuju za snahu mi to vysvětlit:), ale bohužel jsem spíš zmatená. Nejspíš z toho bude marná snaha... Zmatení započalo, když jsem zjistila, že já si ty vektory, co vyšly po zobrazení báze, psala do řádků, ale vy je máte jako sloupce. Na tom nejspíš záleží, ne?

Takže, co se týče toho konkrétního vektoru u jádra, tak tam není jeden konkrétní s čísly, který mám najít? Když mám tedy určit jádro, tak to určím takhle s tím parametrem a pak určím namátkou jeden/dva vektory, podle toho, jakou má jádro dimenzi? Mám doma sbírku příkladů a tam se vždy u těhle příkladů ve výsledku vytasí třeba se dvěma konkrétními vektory - takže to by pak nebyla jediná správná možnost?

A při hledání $Im\varphi$ si můžu pomoct tou maticí? Že zjistím které řádky mi dají nezávislé vektrory a to je výsledek?

vosa · 12. 05. 2012 18:01

Ano na tom záleží, obrazy vektorů se píší do sloupců matice.

Co se týče toho jádra, u nás se to parametrické vyjádření nepoužívalo vůbec, u vás je zřejmě třeba. Ty konkrétní vektory pak skutečně mohou být jakékoli, které splňují rovnice. V tomto příkladě to může být třeba vektor (1,-1,0) ale i vektor (-1,1,0), nebo (179, -179, 0), jde jen o to aby splňoval rovnice. Pokud by dimenze byla 2, pak by to byly jakékoli 2 vektory, které by splňovali rovnice a zároveň by byly lineárně nezávislé.

Teď ale nevím, co označujete $Im \varphi$

vosa · 12. 05. 2012 18:41

Takže to Im fí je zřejmě obraz: jak se získá je popsáno například v tomto tématu:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=650

čili stačí udělat to, co už jsi udělala na začátku - najít obrazy vektorů báze, a z nich potom vybrat lineárně nezávislý soubor vektorů, tedy báze $Im \varphi$ je ( (1,0,0), (0,1,1)). Je to jasné? :)

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 12. 05. 2012 20:57

No, jasně to zní, jestli to jasné je, se uvidí po testu:). Moc vám děkuju.

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2012 15:55 — Editoval Dalsi Uzivatelske Jmeno (11. 05. 2012 15:56)

Lineární zobrazení, matice, jádro apod.

#2 12. 05. 2012 16:27 — Editoval Dalsi Uzivatelske Jmeno (12. 05. 2012 16:27)

Re: Lineární zobrazení, matice, jádro apod.

#3 12. 05. 2012 16:38

Re: Lineární zobrazení, matice, jádro apod.

#4 12. 05. 2012 17:08

Re: Lineární zobrazení, matice, jádro apod.

#5 12. 05. 2012 17:15

Re: Lineární zobrazení, matice, jádro apod.

#6 12. 05. 2012 17:43 — Editoval Dalsi Uzivatelske Jmeno (12. 05. 2012 17:44)

Re: Lineární zobrazení, matice, jádro apod.

#7 12. 05. 2012 18:01

Re: Lineární zobrazení, matice, jádro apod.

#8 12. 05. 2012 18:41

Re: Lineární zobrazení, matice, jádro apod.

#9 12. 05. 2012 20:57

Re: Lineární zobrazení, matice, jádro apod.

Zápatí