Matematické Fórum

Mihulik

Ahoj,
snažím se nalézt globální extrémy funkce $f(x,y,z)=\sin x+\sin y+\sin z-\sin (x+y+z)$ kde $x,y,z\in[0,\pi]$ .
Pokud možno bych je ale chtěl nalézt bez využití věty o vázaných extrémech.
Můj dosavadní postup:
Definiční obor funkce je kompaktní množina $[0,\pi]\times[0,\pi]\times[0,\pi]$ a funkce je na této kompaktní množině spojitá, tzn. globální maximum a minimum existuje.
Glob. extrémy hledáme ve vnitřních bodech množiny, kde vyjdou parc. derivace nulové, nebo neexistují a na hraničních bodech def. oboru. Parc. derivace existují všude a nulové jsou v bodě $[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ (ještě vyjdou nulové v krajních bodech $[0,0,0]$ a $[\pi,\pi,\pi]$ , ale to je díky tomu, že technicky pracujeme s touto funkcí jako by byla definována na celém $\mathbb{R}^{3}$ , ale my ji uvažujeme jen na restrikovaném def. oboru, tzn. parc. derivace v těchto krajních bodech na našem def. oboru neexistují, protože zde existují příslušné parc. derivace jen z jedné strany).
Snadno ověříme, díky omezenosti funkce sinus, že funkce nabývá v bodě $[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ maxima a že ho nabývá na našem def. oboru právě v tomto bodě. Naše funkce má tedy právě jedno glob. maximum a to v bodě $[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ .
Globální minimum (minima) tedy hledáme na krajních bodech. Tady se ale zaseknu. Vyzkouším např. bod $[0,0,0]$ a zjistím, že funkce tam nabývá nuly. To by intuitivně mohlo být minimum a tak bych potřeboval najít krajní body, kde funkce nabývá nuly, a dokázat, že jinde je ostře větší než 0.
Budu-li například uvažovat stěnu krychle (def. obor je vlastně krychle v $\mathbb{R}^{3}$ ), kde $x,y\in [0,\pi]$ a $z=0$ , tak řeším rovnici $\sin x+\sin y-\sin (x+y)=0$ , ale nevím, jak ji slušně analyticky vyřešit.

Budu vděčný za případné rady či nasměrování.

Děkuji.

Stýv · 12. 05. 2012 20:04

Ono to asi fakt nezáporný bude, ale takovej běžnej způsob je, že si vezmeš jednotlivý krajní množiny, např. tu stěnu z=0, a klasicky vyšetřuješ fci dvou proměnných $\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ .

Mihulik · 12. 05. 2012 22:36

Pravda, tímto způsobem by to mělo jít bez větších potíží... zkusím na to zítra pořádně mrknout - zatím děkuji:)

Mihulik · 13. 05. 2012 22:32

↑ Stýv:
Bylo to pracné, ale vedlo to k výsledku:-)
Děkuji!

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2012 19:12 — Editoval Mihulik (12. 05. 2012 19:18)

Globální extrémy funkce tří proměnných (bez věty o vázaných extrémech)

#2 12. 05. 2012 20:04

Re: Globální extrémy funkce tří proměnných (bez věty o vázaných extrémech)

#3 12. 05. 2012 22:36

Re: Globální extrémy funkce tří proměnných (bez věty o vázaných extrémech)

#4 13. 05. 2012 22:32

Re: Globální extrémy funkce tří proměnných (bez věty o vázaných extrémech)

Zápatí