Matematické Fórum

mikca101 · 13. 05. 2012 16:18

Zadání:

$\int_{}^{} sin^2(x) cos^2(x) dx$

Poměrně logicky jsem si vzal subst. $\text{tg}(x) = t$

Poté přes parciální zlomky jsem se dostal na $\int_{}^{} \frac{1}{(t^2+1)^2}-\frac{1}{(t^2+1)^3} dt$

Vidím v tom docela jasně využití $\int_{}^{}\arctan x dx= \frac{1}{1+x^2}$ , ale nějak nevím, jak to tam nacpat. Nevěděl byste někdo?

Phate · 13. 05. 2012 16:36

myslim, ze toto bude lehci resit pres goniometrickou jednicku a snizovani mocniny pomoci cos2x i kdyz jit by to melo obema zpusoby no musis si s tim trochu vyhrat, bud pres nejakej per partes snizit tu mocninu nebo pres pricteni+odecteni vyrazu ve jmenovali, aby se ti s tim lip pocitalo

mikca101 · 13. 05. 2012 17:02

↑ Phate:

což o to, přes gon. jedničku a cos 2x už se mi to povedlo spočítat - sice to bylo delší, ale vyšlo to.. pak jsem to zkoušel i přes druhou možnost (tedy tu substituci) a tam mě dost zarazil právě $\int_{}^{} \frac{1}{(t^2+1)^2}-\frac{1}{(t^2+1)^3} dt$ .. zkoušel jsem ledacos a pořád mi z toho nic kloudnýho neleze..

nenapadá Tě, co konkrétně tam zkusit za per-partes nebo jak si s tím pohrát, páč já už zkusil asi všecko, co mi přišlo na mysl.. teď už mi to totiž ani tak nejde o výsledek celkovýho integrálu, ale jen o postup, když se mi tam zas někdy objeví $\int_{}^{} \frac{1}{(t^2+1)^2}$ nebo něco podobnýho.. ;)

Phate · 13. 05. 2012 18:15

melo by to jit podobne jak tady http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=285565#p285565 stejne substituce, ale dostanes $\int \cos^4 s ds$ , kterej uz budes muset delat pres snizeni stupne. Urcite by to slo i nejak jinak, nevim jestli pres ten per partes, jak nad tim tak premyslim, tak to asi nebude spravna cesta. Co me jeste napadlo, tak do citatele pridat vyraz $+t^2-t^2$ a nejak si s tim vice pohrat, tezko rict.

jelena · 13. 05. 2012 18:32

Zdravím,

ještě doplním ke kolegovi Phate.

k úvodním integrálu $\frac{1}{4}\int_{}^{} 4\sin^2(x) \cos^2(x) \d x=\frac{1}{4}\int_{}^{} \sin^2(2x)\d x$ atd se mi jeví jako velmi pohodlná cesta (a nemůže být dlouhá).

K integrálu: $\int_{}^{} \frac{1}{(t^2+1)^2}\d t$ váženého kolegu 4 roky zpět nadchla Ostrogradského metoda.. Tento integrál je vhodný pro metodu. Něco podobného jsme řešili zde.

mikca101 · 13. 05. 2012 21:22

↑ jelena:

Také zdravím,
tak tuto úpravu jsem v tom opravdu neviděl - určitě se jedná o tu nejjednodušší možnost - díky za ni!

Tak jsem Ostrogradského metodu hned zkusil (byla pro mě nová) a hned při prvním užití jsem se trošku zaseknul:

$\int_{}^{} \frac{dt}{(t^2+1)^2} = \frac{Ax^2+Bx+C}{(t^2+1)}+ \int_{}^{} \frac{Dx^2+Ex+F}{(t^2+1)} dt$

Po derivaci a roznásobení mi ale vyšly rovnice:

$0=D$
$0=E$
$0=-B+F+D$
$0=2A-2C+E$
$1=B+F$

tedy: $A=?, B= \frac{1}{2}, C=?, D=0, E=0, F=-\frac{1}{2}$

Pro A a C mi tedy vyšel jen vzájemný vztah - takže mám dojem, že ani tudy cesta nevede. Nebo se pletu?

jelena · 13. 05. 2012 21:37

↑ mikca101:

o goniometrické úpravě píše kolega ↑ Phate: (snižovat mocniny).

K Ostrogradskému: napravo polynom v čitateli má být o 1 menší stupeň, než nejvyšší v jmenovateli, tedy

$\int_{}^{} \frac{dt}{(t^2+1)^2} = \frac{At+B}{(t^2+1)}+ \int_{}^{} \frac{Ct+E}{(t^2+1)} dt$

mikca101

↑ jelena:

Aha, mně přišlo, že zde ↑ Phate: hovořil o úpravě přes cos 2x společně s gon. jedničkou - tedy o vzorce>

$\sin^2(x) = \frac{1-cos (2x)}{2}$ a $\cos ^2(x) = \frac{1+cos (2x)}{2}$ přes které to teoreticky taky šlo. I když to vyšlo poměrně škaredě. ;)

Ach tak, tak to jsem to z těch materiálů špatně pochopil - díky, zkusím dopočítat!

Edit - Nádhera! Krásně to vyšlo a navíc jsem pochopil, proč k tomu výsledku došel i MAW (někde jsem viděl, že Ostrogradského metodu umí, ale jen nepíše, že ji používá). Díky moc!

Phate · 13. 05. 2012 22:00

[re]p285675|mikca101[/re
presne to jsem mel namysli, tuto upravu stejne jednou budes muset pouzit i pri $\frac{1}{4}\int_{}^{} 4\sin^2(x) \cos^2(x) \d x=\frac{1}{4}\int_{}^{} \sin^2(2x)\d x$
tomto postupu

mikca101 · 13. 05. 2012 22:08

↑ Phate:

Dobrý, tak to jsme si jen nerozuměli. ;) Já to nakonec pomocí těch dvou vzorců vypočítal i tak, jen je to počítání potom o něco delší a výsledek není tak hezkej jako při využití právě při užití:

$\frac{1}{4}\int_{}^{} 4\sin^2(x) \cos^2(x) \d x=\frac{1}{4}\int_{}^{} \sin^2(2x)\d x$

Takže díky i Tobě ;)

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2012 16:18

neurčitý integrál

#2 13. 05. 2012 16:36

Re: neurčitý integrál

#3 13. 05. 2012 17:02

Re: neurčitý integrál

#4 13. 05. 2012 18:15

Re: neurčitý integrál

#5 13. 05. 2012 18:32

Re: neurčitý integrál

#6 13. 05. 2012 21:22

Re: neurčitý integrál

#7 13. 05. 2012 21:37

Re: neurčitý integrál

#8 13. 05. 2012 21:56 — Editoval mikca101 (13. 05. 2012 22:02)

Re: neurčitý integrál

#9 13. 05. 2012 22:00

Re: neurčitý integrál

#10 13. 05. 2012 22:08

Re: neurčitý integrál

Zápatí