Matematické Fórum

HeXedito · 04. 06. 2012 14:56

Ahoj,

zítra píšu zkoušku a nikdo ze spolužáků není schopen poradit. Už jsem to tu řešil: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=290732#p290732 .. Tomas.P mi poskytl řešení, ale stále nejsem schopen pochopit podstatu tohoto zadání. Nevím, jaké úkony provést a k čemu mám dojít.

moc prosím o pomoc.. co se týče matematiky, chvíli mi trvá než něco pochopím, tak prosím jak pro debila :-)

Rumburak

Ahoj.

To, co se potřebuješ doučit, je zřejmě věta o substituci ve dvojném (obecně n-rozměrném integrálu) a případně Fubiniova věta (o postupné integraci
n-rozměrného integrálu) včetně procvičení na několika typických příkladech.

Také je vhodné znát některé často upotřebitelné substituce (polární souř. ve 2D, sférické a cylindrické souř. ve 3D).

Pokud nemáš žádný učební materiál na tato témata, zkus prohledat web - jistě tam něco bude.

HeXedito · 04. 06. 2012 15:39

↑ Rumburak: substituci ve dvojných integrálech počítat umím jako dvojné integrály samotné, spíš se nevyznám v těch neznámých a také netuším, jak může na místo, kdye bývá dy a dx přibývat v každém kroku nějaká neznámá

HeXedito · 04. 06. 2012 15:41

pokud to chápu správně, jde jen to to dostadit za x ten cos a za y sin (samozřejmě s ró a fí) a vypočítat v integrálu?

teutates

za x dosadis ${\varrho}{\cdot}cos{\varphi}$ , za y ${\varrho}{\cdot}sin{\varphi}$ a vynasobis Jacobianem, ktery je v pripade neposunutych polarnich souradnic $r$

HeXedito · 04. 06. 2012 15:53

↑ teutates: aha to zní celkem jednoduše.. a Jacobian tedy jen připisuji na konec, že?

teutates · 04. 06. 2012 15:56

prenasobis s nim celej ten vnitrek integralu

HeXedito · 04. 06. 2012 16:01

↑ teutates: super.. tak to už snad dokupy dám.. děkuju

Rumburak

↑ HeXedito:

Tak si rozeberme ten příklad

(1) $S(M) = \int\!\!\int_{M}\sqrt{x^2+y^2}\,dx{\cdot}dy=\int\!\!\int_{M}\sqrt{{\varrho^2}{\cdot}{cos{\varphi}^2}+{\varrho^2}{\cdot}{sin{\varphi}^2}}{\cdot}{\varrho}{\cdot}\,d{\varrho}{\cdot}d{\varphi}$ ,

kde $M = \{[x;y];x^{2}+y^{2}\le 4\wedge y\ge 0\}$ , v němž ovšem substituce bohužel není provedena zcela správně, proto možná tomu není rozumět.
Jde o to, že substitucí se nové souřadnice stanou novými integračními proměnnými a tím se obecně změní také integrační množina .

Položme $F(\varrho, \varphi) := [\varrho \,\cos \varphi, \varrho \,\sin \varphi]$ . Je zřejmé, že bez dalších předpokladů na nové proměnné jde o surjectivní zobrazení $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ,
které však není prosté, jak věta o substituci požaduje. Aby bylo prosté, omezíme se na $\varrho > 0$ a $\varphi$ necháme probíhat pouze zvolený polouzavřený interval
délky $2\pi$ . Surjectivita se tím sice poruší, ale z oboru hodnot zobrazení $F$ vypadne pouze jediný bod $[0, 0]$ , což při výpočtu integrálu nehraje roli.
Popsat množínu $M$ v nových souřadnicích $\varrho, \varphi$ mj. znamená, že nové "body" $[\varrho, \varphi]$ vyplní množinu $F^{-1}(M)$ (tedy vzor množiny $M$ při zobratení $F$ )
a nikoliv množinu $M$ . Provedení substituce $[x,y] = F(\varrho, \varphi)$ pak bude správně vyjádřeno ve tvaru

$S(M) = \int\!\!\int_{M}\sqrt{x^2+y^2}\,dx{\cdot}dy=\int\!\!\int_{F^{-1}(M)}\sqrt{{\varrho^2}{\cdot}{cos{\varphi}^2}+{\varrho^2}{\cdot}{sin{\varphi}^2}}{\cdot}{\varrho}{\cdot}\,d{\varrho}{\cdot}d{\varphi}$

Jak vznikl činitel $\sqrt{{\varrho^2}{\cdot}{cos{\varphi}^2}+{\varrho^2}{\cdot}{sin{\varphi}^2}}$ , je jistě zřejmé, další činitel $\varrho$ tam je za absolutní hodnotu jacobiánu toho zobrazení $F$ .
A po substituci se už neintegruje podle $x, y$ , ale podle $\varrho, \varphi$ , proto tam místo $dx\, dy$ je $d\varrho\, d\varphi$

Množinu $F^{-1}(M)$ nutno určit podle množiny $M$ .

Viz vzorec z věty o substituci.

EDIT. Příspěvek jsem ještě důležitým způsobem doplnil.