Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Ahoj, jak byste řešili následující diferenciální rovnici?
Řešení je pěkné. Dá se najít, pokud si něčeho všimneme (nebudu zatím prozrazovat čeho). Nenapadá mě ale žádný způsob, jak ji vyřešit „standardně“.
Offline
↑ Pavel Brožek:
Zdravím, nešlo by z toho několika málo úpravami vytvořit Bernoulliho d.r.?
Offline
↑ skoroakvarista:, ↑ xfastx:
No jo, máte pravdu. Díky. Příště se radši víc zamyslím, než ze sebe udělám blbce :-D.
Jen doplním, že rovnice zůstane zachována při a a této symetrie se dá při řešení využít. Není to ale tak snadné jako standardní řešení, které jste uvedli.
Offline
↑ Pavel Brožek:
Ahoj, možná by bylo inspirující, kdybys sem své řešení přesto uvedl - třeba se jedná o postup, který by bylo možné použít i v jiných, obecnějších, případech. Tak jestli se Ti bude chtít, díky za něj.
Offline
↑ check_drummer:
Ten postup, který jsem měl na mysli, jsme se učili na přednášce „Symetrie rovnic matematické fyziky a zákony zachování“. Pokusím se to sem nějak sepsat.
Nějaká transformace souřadnic , je transformací symetrie diferenciální rovnice, pokud se tvar diferenciální rovnice po přechodu k novým proměnným a nezmění. V tomto případě máme transformaci
kde je parametr transformace.
Řekneme, že je generátor transformace, pokud platí
V našem případě tedy . Pokud najdeme nové souřadnice (říká se jim kanonické) a (s pak budeme brát jako funkci r) takové, že a , pak v těchto souřadnicích bude mít generátor transformace jednoduchý tvar a bude se tedy jednat o posunutí v proměnné s (protože a ). Diferenciální rovnice po převedení do nových proměnných r,s zůstává zachována při posunutí proměnné s, proto se proměnná s v diferenciální rovnici už explicitně nevyskytuje. Tím pádem z rovnice můžeme vyjádřit , kde F je nějaká funkce. Toto se zintegruje a přejde se zpět k původním proměnným x,y.
Chceme tedy najít r, s, aby platilo
To splňuje např. a . Po převedení diferenciální rovnice do těchto souřadnic dostaneme
Po integraci:
Převedeme to zpět do původních souřadnic a vyjádříme y:
Omlouvám se, že to je hodně ve zkratce, ale není pro mě jednoduché ten postup napsat nějak krátce a přitom srozumitelně. Dostali jsme se k tomu až po několika přednáškách :-).
Offline
↑ Pavel Brožek:
Děkuju za popis. Sice ne všemu rozumím, ale základní myšlenku jsem snad našel.
Offline
Stránky: 1