Matematické Fórum

Pavel Brožek · 09. 06. 2012 17:30

Ahoj, jak byste řešili následující diferenciální rovnici?

$xy'=y-xy^2$

Řešení je pěkné. Dá se najít, pokud si něčeho všimneme (nebudu zatím prozrazovat čeho). Nenapadá mě ale žádný způsob, jak ji vyřešit „standardně“.

skoroakvarista · 09. 06. 2012 17:46

↑ Pavel Brožek:
Zdravím, nešlo by z toho několika málo úpravami vytvořit Bernoulliho d.r.?

xfastx · 09. 06. 2012 17:46

Zdravím, nejprve bych vydělil rovnici "x" a pak bych volil substituci $z=\frac{y}{x}$

Pavel Brožek

↑ skoroakvarista:, ↑ xfastx:

No jo, máte pravdu. Díky. Příště se radši víc zamyslím, než ze sebe udělám blbce :-D.

Jen doplním, že rovnice zůstane zachována při $x\to Kx$ a $y\to\frac yK$ a této symetrie se dá při řešení využít. Není to ale tak snadné jako standardní řešení, které jste uvedli.

check_drummer · 09. 06. 2012 18:05

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, možná by bylo inspirující, kdybys sem své řešení přesto uvedl - třeba se jedná o postup, který by bylo možné použít i v jiných, obecnějších, případech. Tak jestli se Ti bude chtít, díky za něj.

Pavel Brožek · 09. 06. 2012 19:01

↑ check_drummer:

Ten postup, který jsem měl na mysli, jsme se učili na přednášce „Symetrie rovnic matematické fyziky a zákony zachování“. Pokusím se to sem nějak sepsat.

Nějaká transformace souřadnic $\tilde x=F(x,y)$ , $\tilde y=G(x,y)$ je transformací symetrie diferenciální rovnice, pokud se tvar diferenciální rovnice po přechodu k novým proměnným $\tilde x$ a $\tilde y$ nezmění. V tomto případě máme transformaci

$\tilde x=\mathrm{e}^\varepsilon x\nl \tilde y=\mathrm{e}^{-\varepsilon}y$

kde $\varepsilon$ je parametr transformace.

Řekneme, že $X(x,y)=\xi(x,y)\frac{\partial}{\partial x}+\eta(x,y)\frac{\partial}{\partial y}$ je generátor transformace, pokud platí

$\tilde x=\mathrm{e}^{\varepsilon X}x\nl \tilde y=\mathrm{e}^{\varepsilon X}y$

V našem případě tedy $X=x\frac{\partial}{\partial x}-y\frac{\partial}{\partial y}$ . Pokud najdeme nové souřadnice (říká se jim kanonické) $r(x,y)$ a $s(x,y)$ (s pak budeme brát jako funkci r) takové, že $Xr=0$ a $Xs=1$ , pak v těchto souřadnicích bude mít generátor transformace jednoduchý tvar $X(r,s)=\frac{\partial}{\partial s}$ a bude se tedy jednat o posunutí v proměnné s (protože $\tilde r=\mathrm{e}^{\varepsilon \frac{\partial}{\partial s}}r=r$ a $\tilde s=\mathrm{e}^{\varepsilon \frac{\partial}{\partial s}}s=s+\varepsilon$ ). Diferenciální rovnice po převedení do nových proměnných r,s zůstává zachována při posunutí proměnné s, proto se proměnná s v diferenciální rovnici už explicitně nevyskytuje. Tím pádem z rovnice můžeme vyjádřit $s'(r)=F(r)$ , kde F je nějaká funkce. Toto se zintegruje a přejde se zpět k původním proměnným x,y.

Chceme tedy najít r, s, aby platilo

$x\frac{\partial r}{\partial x}-y\frac{\partial r}{\partial y}=0\nl x\frac{\partial s}{\partial x}-y\frac{\partial s}{\partial y}=1$

To splňuje např. $r=xy$ a $s=\ln x$ . Po převedení diferenciální rovnice do těchto souřadnic dostaneme

$s'(r)=\frac1{2r-r^2}.$

Po integraci:

$s(r)=\ln\sqrt{\frac r{2-r}}+C_1$

Převedeme to zpět do původních souřadnic a vyjádříme y:

$y(x)=\frac{2x}{C_2+x^2}$

Omlouvám se, že to je hodně ve zkratce, ale není pro mě jednoduché ten postup napsat nějak krátce a přitom srozumitelně. Dostali jsme se k tomu až po několika přednáškách :-).