Matematické Fórum

cv · 13. 06. 2012 01:38

Ahoj, mohl by mi někdo poradit, jak postupovat u tohoto prikladu?

vim ze bych z parcialnich derivaci a normaloveho vektoru zadane roviny mel sestavit rovnice, z nichz si vyjadrim souradnice bodu dotyku, ale vzdycky to nejak zprasim a muj vysledek je vzdycky na hony vzdaleny tomu pod zadanim.

Uz jsem tu na to nasel par prikladu, ale asi jsem je uplne nepochopil. Mám z rovnice elipsoidy vyjadrit z jako funkci promennych x a y, a z toho delat parcialni derivace? Nebo mam ten elipsoid brat jako implicitni zadani funkce a postupovat podle toho? Nebo jeste jiny zpusob? Prosim radu :-(

kaja.marik · 13. 06. 2012 09:43

Asi bych nejdriv hledal bod dotyku, tj bod na tom elipsoidu, kde je gradient funkce x^2+2y^2+z^2-1 roven vektoru (4,2,1), nebo jeho nasobku.

Rumburak

Ahoj.

Nejprve hlavní myšlenky:

1) Daná rovina má nějaký normálový vektor n (normálový vektor plochy v jejím bodě je vektor kolmý k tečné rovině plochy vedené tímto
bodem; je určen jednoznačně až na nenulový násobek; je-li zkoumaná plocha rovinou, je v libovolném svém bodě sama sobě tečnou rovinou,
takže normálový vektor roviny je společný všem bodům roviny a je k této rovině kolmý).

2) Tentýž normálový vektor n (jako daná rovina) má i každá rovina s danou rovinou rovnoběžná a tedy i hledaná tečná rovina k elipsoidu.
Vektor n bude zároveň normálovým vektorem daného elipsoidu v bodě dotyku s hledanou tečnou rovinou.

K vyřešení úlohy je potřeba umět určit normálový vektor plochy v jejím bodě. Tedy:

- zjist některý normálový vektor n dané roviny (nebude záviset na souřadnicích) ;

- vyjádřit normálový vektor m(x,y,z) toho elipsoidu v jeho obecném bodě X[x,y,z] (m(x,y,z) už bude záviset na souřadnicích bodu X, protože
elipsoid není rovina) ;

Dále:
Je-li X navíc bodem dotyku, potom musí být splněna vektorová rovnice m(x,y,z) = t n pro nějaké nenulové t . Tato vekorová rovnice
představuje soustavu třech "klasických" rovnic o neznámých x, y, z, t . Za čtvrtou rovnici soustavy vezmeme rovnici elipsoidu a soustavu
vyřešíme. Když už budeme znát bod X, snadno sestavíme rovnici roviny, která jím prochází a má normálový vektor n.

Který krok Ti případně ještě není jasný ?

EDIT. Kolega ↑ kaja.marik: mezitím podal návod, ale podrobnější výklad (píšeš, že problematice nerozumíš) snad teké nebude na škodu,
proto ho tu nechám.

cv · 13. 06. 2012 11:50

↑ Rumburak:
No snad jsem neudelal chybu pri vyjadrovani dotykoveho bodu, ale v tom připade mi neni jasne z čeho přesně určit rovnici tečne roviny.

Jeji obecnou rovnici znam, ale po dosazeni znamych hodnot mi pozadovany vysledek nevyjde.

Rumburak · 13. 06. 2012 13:38

↑ cv:

Tvůj výpočet má jednu vadu, a sice tu, že nalezený bod $X[2, 1/2, 1/2]$ , o němž předpokládáš, že je bodem dotyku, nevyhovuje
rovnici toho elipsoidu a tedy na něm neleží. Já jsem k nalezení tohoto bodu $X[x, y, z]$ radil vyřešit soustavu

$(2x, 4y, 2z) = t(4, 2, 1) , x^2 +2y^2 + z^2 = 1$ .

Jinak rovina mající normálový vektor $(a, b, c)$ a procházející bodem $[x_0, y_0, z_0]$ má rovnici

$a(x-x_0)\,+\,b(y-y_0)\,+\,c(z-z_0)\,=\,0$ ,

což dostaneme pomocí skalárního součinu na základě faktu, že vektory $(a, b, c)$ , $(x-x_0, \,y-y_0,\, z-z_0)$ jsou na sebe kolmé.

cv · 13. 06. 2012 14:21

↑ Rumburak: asi to pořád nechápu

pokud řeším soustavu těch dvou rovnic co si napsal, tedy vyjádřím x, y a z jako nějaky nasobek parametru t, tato vyjadření dosadím do te rovnice elipsoidu, vyjde mi
$t = \frac{\pm 2}{\sqrt{15}}$

to dosadim do tech vyjadřeni a vyjde mi
$x = \frac{\pm 4}{\sqrt{15}}$
$y = z = \frac{\pm 1}{\sqrt{15}}$

to dosadim do rovnice te roviny prochazejici bodem (te jak jsi napsal)

a vyjde mi

$4x + 2y + z - 19/\sqrt{15} = 0$

Rumburak · 13. 06. 2012 14:51

↑ cv:
Teď jsi to asi už pochopil správně.

Mně to ale vychází jinak numericky: x = 2t , y = z = t/2 , dosazením do rovnice elipsoidu a úpravou jsem dostal rovnici
$16t^2 +2t^2 + t^2 = 4$ , která má kořeny $t = \frac{\pm 2}{\sqrt{19}}$ . Dál jsem to nepřepočítával, jde pak už jen o dosazení.

Ale početní chyby občas dělám, tak nevím ...

cv · 13. 06. 2012 15:31

↑ Rumburak: Tak jsem udelal chybu ja, upsal jsem se ve znamenku. Diky moc, uz to vyslo.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2012 01:38

Rovnice tečny elipsoidu rovnobezne s danou rovinou

#2 13. 06. 2012 09:43

Re: Rovnice tečny elipsoidu rovnobezne s danou rovinou

#3 13. 06. 2012 10:08 — Editoval Rumburak (13. 06. 2012 10:59)

Re: Rovnice tečny elipsoidu rovnobezne s danou rovinou

#4 13. 06. 2012 11:50

Re: Rovnice tečny elipsoidu rovnobezne s danou rovinou

#5 13. 06. 2012 13:38

Re: Rovnice tečny elipsoidu rovnobezne s danou rovinou

#6 13. 06. 2012 14:21

Re: Rovnice tečny elipsoidu rovnobezne s danou rovinou

#7 13. 06. 2012 14:51

Re: Rovnice tečny elipsoidu rovnobezne s danou rovinou

#8 13. 06. 2012 15:31

Re: Rovnice tečny elipsoidu rovnobezne s danou rovinou

Zápatí