Matematické Fórum

Verys · 17. 11. 2008 18:18

V kosočtverci ABCD je dáno /AB/= 8 cm, ALFA = 60°. Vypočítejte délky obou úhlopříček.. poradi mi NEKDO?

Ivana · 17. 11. 2008 18:53

↑ Verys:Je dobré si nakreslit obrázek :

Cheop · 18. 11. 2008 13:50 — Editoval Cheop (18. 11. 2008 14:07)

↑ Verys:
Ono by to šlo počítat i takto:
Z obrázku:

$\gamma=\frac{\alpha}{2}$
$\beta=180-2\cdot\gamma=180-\alpha=180-60=120^\circ$
Pro délku úhlopříčky f z kosinové věty platí:
$f^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot\cos\,\alpha\nlf^2=2\cdot a^2\left(1-\frac 12\right)\nlf^2=a^2\nlf=a=8\,\textrm{cm}$
Pro délku úhlopříčky e z kosinové věty platí:
$e^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot\cos\,\beta\nle^2=2\cdot a^2\left(1+\frac 12\right)\nle^2=3a^2\nle=a\cdot\sqrt 3\nle=8\cdot\sqrt 3\,\textrm{cm}$

Při vědomí toho, že $\cos\,60^\circ=\frac 12\nl\cos\,120^\circ=-\frac 12$ a dále, že Pythagorova věta je speciální případ věty kosinové.

Chrpa · 18. 11. 2008 16:13

↑ Cheop:
Kdybychom to úplně zobecnili pak by výsledek byl tento:
$e=a\cdot\sqrt{2+2\cos\,\alpha}\nlf=a\cdot\sqrt{2-2\cos\,\alpha}$

Verys · 18. 11. 2008 17:08

Tak to od vas teda vubec nechapu.

ttopi · 18. 11. 2008 17:27

Stačí si uvědomit, že úhlopříčky kosočtverce jsou na sebe vždy kolmé - tím nám vypadne pravoúhlý trojúhelník, jehož přepona je dlouhá 8 cm a známe vnitřní úhel - to je klasický příklad na Pythagorovu větu :-))

Chrpa · 18. 11. 2008 17:34 — Editoval Chrpa (18. 11. 2008 17:40)

↑ Verys:
Kdybychom to úplně zobecnili tak:
pro $\alpha=90^\circ$ dostaneme čtverec -protože $\cos\,90^\circ=0$ pak by úhlopříčky byly $u_1=u_2=a\cdot\sqrt 2$

pro $\alpha\ne90^\circ$ dostaneme kosočtverec, kde délka úhlopříček bude: $u_1=a\cdot\sqrt{2+2\cos\,\alpha}\nlu_2=a\cdot\sqrt{2-2\cos\,\alpha}$

Ivana · 18. 11. 2008 19:27

↑ Chrpa:Zdravím :-) a omlouvám se , že zasahuji do úvah, ale přikláním se k tazateli dotazu, když tvrdí že obecnému vyjádření nerozumí. To
se ani nedivím, mám pocit, že toto již není učivem pro ZŠ. Možná tak ke konci školního roku , kdy žáci by již měli znát goniometrické funkce .

Cheop · 19. 11. 2008 07:08 — Editoval Cheop (19. 11. 2008 09:34)

↑ Ivana:
Zdravím:)
Já si vlastně neuvědomil, že je tento příklad v sekci "Základní škola".
Omlouvám se i tazateli, že jsem to zbytečně zamotal.

EDIT: Ivanko Ty ve svém výpočtu, ale goniometrické fce používáš. (tím Tě nekritizuji, ale pouze upozorňuji).

Cheop · 19. 11. 2008 08:16 — Editoval Cheop (19. 11. 2008 09:47)

V této sekci bych tedy tento příklad řešil takto:
Dle obrázku:

$\beta=180-\alpha=120^\circ\,\Rightarrow\nl\frac{\beta}{2}=60^\circ$ (využíváme faktu, že úhlopříčky půlí úhel při vrcholu kosočtverce)
Trojúhelník ABD se stranami (f,a,a) je rovnostranný trojúhelník, protože všechny úhly mají velikost 60 stupňů. Úhel při vrcholu D v trojúhelníku ABD je: $\delta=180-\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)=180-120=60^\circ$
Z toho plyne, že všechny strany tohoto trojúhelníku jsou stejně dlouhé tj i $f=a=8\,\textrm{cm}$
V pravoúhlém trojúhelníku ASB, kde S je střed kosočtverce, z Pythagorovy věty platí: (využíváme faktu, že úhlopříčky v kosočtverci se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé)
$\left(\frac{e}{2}\right)^2+\left(\frac{f}{2}\right)^2=a^2\nl\frac{e^2}{4}+4^2=8^2\nl\frac{e^2}{4}=64-16\nle^2=4\cdot 48\nle^2=4\cdot 16\cdot 3\nle=2\cdot 4\cdot\sqrt 3\nle=8\cdot\sqrt 3\,\textrm{cm}$

Ivana · 19. 11. 2008 17:48

↑ Cheop:Zdravím,
máš pravdu, já jsem si to vůbec neuvědomila. Tak tedy to tebou doplněné řešení je to pravé ořechové. Děkuji za upozornění. Ve třídě by se mi to nestalo, žáci by mně upozornili okamžitě. To je právě ten rozdíl klidu domova oproti pracovního klima ve třídě . :-)

Chrpa · 19. 11. 2008 18:21 — Editoval Chrpa (19. 11. 2008 20:00)

↑ Ivana:
Nic si z toho nedělej, to bylo jen takové přátelské pošťouchnutí

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2008 18:18

Pythagorova veta

#2 17. 11. 2008 18:53

Re: Pythagorova veta

#3 18. 11. 2008 13:50 — Editoval Cheop (18. 11. 2008 14:07)

Re: Pythagorova veta

#4 18. 11. 2008 16:13

Re: Pythagorova veta

#5 18. 11. 2008 17:08

Re: Pythagorova veta

#6 18. 11. 2008 17:27

Re: Pythagorova veta

#7 18. 11. 2008 17:34 — Editoval Chrpa (18. 11. 2008 17:40)

Re: Pythagorova veta

#8 18. 11. 2008 19:27

Re: Pythagorova veta

#9 19. 11. 2008 07:08 — Editoval Cheop (19. 11. 2008 09:34)

Re: Pythagorova veta

#10 19. 11. 2008 08:16 — Editoval Cheop (19. 11. 2008 09:47)

Re: Pythagorova veta

#11 19. 11. 2008 17:48

Re: Pythagorova veta

#12 19. 11. 2008 18:21 — Editoval Chrpa (19. 11. 2008 20:00)

Re: Pythagorova veta

Zápatí