Matematické Fórum

Ben-Gun · 13. 07. 2012 17:10

Zdravim,

mam priklad na Lagrangeovy multiplikatory teoreticky bych ho umel vyresit ale nevim presne jak zderivovat vyraz || Cx || (norma vektoru ktery vznikl vynasobenim matice C a vektoru x, kde x je neznamy vektor, podle ktereho chci derivovat).

Cely priklad zni :

Je dana uzka matice C, siroka matice A a vektor b. Minimalizujte || Cx ||2 (jde o euklidovskou normu z Cx), za podminek Ax = b. Vysledkem bude explicitni vzorec (v maticove forme) pro optimalni x. Predpokladejte, ze inverze vsech ctvercovych matic, ktere budete potrebovat, existuji.

Pokud napisete cele reseni, nebo aspon cemu je rovna derivace ||Cx|| podle x budu velmi vdecny.

Diky.

lukaszh · 13. 07. 2012 22:01

↑ Ben-Gun:

Vzorec na to nepoznám. Pokiaľ som spravil správne výpočty tak mi vyšlo

$\frac{\partial}{\partial x_i}\left[(\mathbf{r}_1,\mathbf{x})^2+(\mathbf{r}_2,\mathbf{x})^2\right]^{\frac{1}{2}}= \frac{c_{1i}(\mathbf{r}_1,\mathbf{x})+c_{2i}(\mathbf{r}_2,\mathbf{x})}{\left[(\mathbf{r}_1,\mathbf{x})^2+(\mathbf{r}_2,\mathbf{x})^2\right]^{\frac{1}{2}}} =\frac{(\mathbf{s}_i,\mathbf{Cx})}{\left[(\mathbf{r}_1,\mathbf{x})^2+(\mathbf{r}_2,\mathbf{x})^2\right]^{\frac{1}{2}}}$

kde r_i označuje riadok matice C a s_i označuje stĺpec matice C. Výpočet som spravil pre 2x2 maticu, rovnako by to vyšlo vo všeobecnom prípade. Z toho výsledku možno vyvodiť

$\frac{\partial}{\partial\mathbf{x}}\Vert\mathbf{Cx}\Vert=\frac{\mathbf{C}^T\mathbf{Cx}}{\Vert\mathbf{Cx}\Vert}$

Snáď je to dobre.

lukaszh · 13. 07. 2012 22:03

↑ Ben-Gun:

Minimalizujte || Cx ||2

Čo označuje tá 2? Ak je to druhá mocnina, tak sa derivuje druhá mocnina normy a predchádzajúci výsledok nemožno použiť. Ak to označuje dvojkovú normu, tak sa nič nemení.

Ben-Gun · 13. 07. 2012 22:49

Jedna se o dvojkovou normu (euklidovskou). Dekuju za odpoved, pokud by si vedel priklad i vyresit tak taky prosim te napis.

lukaszh

Ben-Gun napsal(a):
mam priklad na Lagrangeovy multiplikatory teoreticky bych ho umel vyresit ...

Môžeme sa o to pokúsiť. Je tu priestor. Začať možno s Lagrangeovou funkciou

$L(\mathbf{x},\boldsymbol{\lambda})=\Vert\mathbf{Cx}\Vert+\boldsymbol{\lambda}^T(\mathbf{Ax-b}).$

Jej derivácia bude, podľa predchádzajúceho výpočtu

$\frac{\partial}{\partial\mathbf{x}}L(\mathbf{x},\boldsymbol{\lambda})=\frac{\mathbf{C}^T\mathbf{Cx}}{\Vert\mathbf{Cx}\Vert}+\mathbf{A}^T\boldsymbol{\lambda}.$

Ben-Gun · 14. 07. 2012 22:23

Ano, uz jsem to vyresil, diky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 13. 07. 2012 17:10

Derivace normy vektoru, Lagrangeovy multiplikatory, Optimalizace

#2 13. 07. 2012 22:01

Re: Derivace normy vektoru, Lagrangeovy multiplikatory, Optimalizace

#3 13. 07. 2012 22:03

Re: Derivace normy vektoru, Lagrangeovy multiplikatory, Optimalizace

#4 13. 07. 2012 22:49

Re: Derivace normy vektoru, Lagrangeovy multiplikatory, Optimalizace

#5 14. 07. 2012 11:58 — Editoval lukaszh (14. 07. 2012 12:01)

Re: Derivace normy vektoru, Lagrangeovy multiplikatory, Optimalizace

Ben-Gun napsal(a):

#6 14. 07. 2012 22:23

Re: Derivace normy vektoru, Lagrangeovy multiplikatory, Optimalizace

Zápatí