Matematické Fórum

Blackflower · 19. 09. 2012 22:55

Zdravím,
dnes sme riešili na cviku príklad, ktorý som veľmi nepochopila, a keďže som svoje papiere požičala spolužiačke, bohužiaľ nemám presné zadanie. Príklad vyzeral asi takto :

Máme zadané tri vektory v $R^3$ - napríklad $x=(x_1, x_2, x_3), y=(y_1, y_2, y_3), z=(z_1, z_2, z_3)$ . Úlohou je zostrojiť rovnicu roviny, ktorú vektory "generujú". Spomínalo sa tam niečo také, že si treba vytvoriť rovnice priamok, ktoré sa v rovine nachádzajú.

Keďže som z toho totálny jeleň, budem vďačná za akúkoľvek pomoc.

pietro · 19. 09. 2012 23:17

ahoj, ax+by+cz+d=0
a dosadiš tri koncove body vektorov,
máš 3 rovnice o 4 nezn (a,b,c,d). a jednu nezn. si s citom zvolíš napr. =1
alebo vektorovy sucin dvoch vektorov v rovine (pri spoločnom počiat. bode v rovine) ti dá normálový vektor, čo sú vlastne (a,b,c)

Blackflower · 19. 09. 2012 23:20

Je mi to jasnejšie. Ešte sa chcem spýtať, napríklad keď si zvolím d=1 a potom d=2, ako sa to prejaví?

pietro · 20. 09. 2012 00:05

↑ Blackflower: ax+by+cz+d=0 *predelíme* d
dostaneme
(a/d)*x+(b/d)*y+(c/d)*z +1=0
alebo *predelíme* a
dostaneme
1*x+(b/a)*y+(c/a)*z +d/a=0
atd.
A teda štvorica koef. (a,b,c,d) ktorými je jednoznačne určená rovina može byt opticky iná... Rovnicu roviny si možeš násobit čím chceš okrem nuly a je to stále tá istá rovina.

user · 20. 09. 2012 01:56

Další možností je použití afinního obalu. hledanou rovinu označím W.

Lineární obal vektorů značím $[x,y,z]_{\lambda }$ , afinní $[x,y,z]_{\alpha }$ .

Potom platí
$W\equiv [x,y,z]_{\alpha }$

$W\equiv x+ [y-x,z-x]_{\lambda }$ (Zapsání roviny pomocí tvaru vektor + podprostor)

Což je v podstatě parametrické vyjádření roviny. Poté můžeš eliminací parametrů přejít k neparametrické rovnici.