Matematické Fórum

Olin · 11. 11. 2007 11:50 — Editoval Olin (11. 11. 2007 11:56)

Jistě všichni znáte základní Eulerův vzorec:
$\mathrm{e}^{\varphi \mathrm{i}} = \cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi$

Ovšem pozor: odsud přímo plyne
$\mathrm{e}^{2 k \pi \mathrm{i}} = 1, k \in \mathbb{Z}$

Tudíž
$\mathrm{e} = \mathrm{e} \cdot \mathrm{e}^{2 k \pi \mathrm{i}}$

Odtud
$\mathrm{e}^{\varphi \mathrm{i}} = (\mathrm{e} \cdot \mathrm{e}^{2 k \pi \mathrm{i}})^{\varphi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^{\varphi \mathrm{i}} \cdot \mathrm{e}^{- 2 k \varphi \pi}$

Přičemž pro $k \neq 0$ zcela jistě
$\mathrm{e}^{- 2 k \varphi \pi} \neq 1$

Co s tím? :)

Marian · 13. 11. 2007 08:41 — Editoval Marian (13. 11. 2007 08:45)

Mas tak pravdu napul!

Eulerova formule plati tak jak jsi napsal, chybi mi tam vsak to, co je $\varphi$ . Spravne ma byt $\varphi\in\mathbb{R}$ .

Dalsi vec je ta, ze pokud umocnujes komplexni cislo na komplexni cislo, tedy $a^b,\qquad (a,b)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ , tak plati podobne vzorce, ktere jsi pouzil, ale tak jednoduche to neni. Funkce umocnovani komplexniho cisla na komplexni cislo je funkci mnohoznacnou, tedy v podstate vyraz $a^b$ znaci celou mnozinu komplexnich cisel (v konkretnim pripade muze byt i jednoprvkova, obecne vsak nikoliv). Nyni vznikle kompexni cislo $a^b$ umocnime na komplexni cislo $c\in\mathbb{C}$ . Pak nemohu napsat (nebo jen tak samozrejme pouzit) vztah $(a^b)^c=a^{b\cdot c}$ . Pamatujme na to, ze mocnina $A^B,\qquad (A,B)\in\mathbb{C}^2, A\neq 0$ , je definovana jako vyraz $A^B:=\exp (B\cdot\ln A)$ . Stejnym zpusobem je zapotrebi chapat i vyraz $A^B$ , kde $A=a^b$ . Tedy $A$ reprezentuje celou mnozinu komplexnich cisel. Problem je predevsim v kroku, kde umocnujes; na zaklade naseho znaceni tedy volis $c=\rm{i}\varphi,\qquad\varphi\in\mathbb{R}$ . Tento krok nelze provest bez uvahy.

Jeste nad tim popremzslej a uvaz (a dokaz na zaklade definic), ze plati

$1^{\rm{i}\varphi}=\exp (-2k\pi\varphi ),\qquad (k,\varphi )\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ .

Pak by melo byt vse jasne ...

Olin · 13. 11. 2007 16:46

Díky za odpověď. Umocňováním komplexních čísel se zabývám už poměrně dlouho, a tak jsem na problém mnohoznačnosti samozřejmě již narazil. Zde mě napadlo, že by se dala tato mnohoznačnost aplikovat i na samotné Eulerovy vzorce, ze kterých komplexní umocňování prakticky vychází.

Jestliže má platit nekonečně mnohoznačný vztah
$1^{\rm{i}\varphi}=\exp (-2k\pi\varphi ),\qquad (k,\varphi )\in\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$

tak by snad měl být mnohoznačný i Eulerův vzorec - zkus místo 1 dosadit e.

Jinak o co mi zde původně šlo (a k čemu jsem se chtěl dostat) - o rozdíl významů e^x a exp(x). Protože pokud zapomeneme, že tyto 2 výrazy se identicky rovnají, tak při umocňování e na imaginární číslo nedostaneme jednoznačný výsledek. Oproti tomu, pokud použijeme definici
$\exp(x) = \sum^{\infty}_{n = 0} \frac{x^n}{n!}$

Potom zřejmě platí
$\exp(\varphi \mathrm{i}) = \cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi$

Marian · 13. 11. 2007 21:40 — Editoval Marian (13. 11. 2007 21:44)

Jeden z mych kolegu se take jako ty zabyva z nudy umocnovanim komplexnich cisel. Berouce pouze zakladni vetve, najdete mocninu

$\Large{\mathrm{i}^{{\mathrm i}^{{\mathrm i}^{\mathrm i}}}}$ .

Takoveto kupeni imaginarnich jednotek do exponentu (a ne jenom jich) se nazyva tetrace cisla. Jakousi inverzni funkci nebo inverzni operaci se nazyva superlogaritmus.

Olin · 13. 11. 2007 21:57

No víme, že
$\mathrm{i}^{{\mathrm{i}} = \mathrm{e}^{-\pi / 2}$

i na tuto hrůzu snad je
$\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i} \pi \mathrm{e}^{-\pi / 2}}{2}}$

A to další se mi již umocňovat nechce… Přece jen já to z nudy nedělám :)

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2007 11:50 — Editoval Olin (11. 11. 2007 11:56)

Do jaké míry platí Eulerovy vzorce?

#2 13. 11. 2007 08:41 — Editoval Marian (13. 11. 2007 08:45)

Re: Do jaké míry platí Eulerovy vzorce?

#3 13. 11. 2007 16:46

Re: Do jaké míry platí Eulerovy vzorce?

#4 13. 11. 2007 21:40 — Editoval Marian (13. 11. 2007 21:44)

Re: Do jaké míry platí Eulerovy vzorce?

#5 13. 11. 2007 21:57

Re: Do jaké míry platí Eulerovy vzorce?