Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj,
pomozte mi, prosím, s nalezením univerzálního prvku pofunktoru $\mathcal{G}$ funktoru $\mathcal{F}$ ,
kde $\mathcal{F}=(\cdot)^Y$ je exponenciální funktor ( $Y$ je nějaká zadaná množina).
Pro libovolnou množinu $S$ je podfunktor definován $\mathcal{G}(S) = \{f; \: f : Y \rightarrow S \: \wedge \: f \circ h= f \circ k \}$ , kde $h,k$ jsou zadané fce $X \rightarrow Y$ .
Našla jsem něco, co by s tím mělo souviset: Wikipedia
Možná to tam je přímo napsané, ale mě to nedochází.
Díky.

Definice:
Univerzální prvek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Funktor:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Exponenciální funktor:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 17. 10. 2012 14:34

ahoj, len mala poznamka;

v teorii kategorii, je zvykom representovat situcie vdaka funkcnym diagramom.

Vies ako sa tvoria taketo veci vdaka latexu?

Andrejka3 · 17. 10. 2012 15:56

↑ vanok:
Ahoj, ano, v latexu používám \xymatrix{}
Chybí mi tam některé druhy šipek, jaký používáš ty?

Jinak, napadlo mě ještě toto:
Volím si libovolnou (neprázdnou) množinu $S$ . Volim $s \in \mathcal{G}S$ , takže $s :Y \rightarrow S$ . Pokud je $u \in \mathcal{G}R$ univerzální prvek, pak musí existovat právě jedna $\tau:R \rightarrow S$ tak, že
$\tau \circ u = s$ tedy $\tau (u(y)) = s(y), \; y \in Y$ by mě mělo jednoznačně definovat fci $\tau$ . Tuším, že by mělo být $R= Y/\sim$ , tj. faktorová množina podle jisté ekvivalence, univerzální prvek $u$ pak bude projekce $Y \rightarrow Y/\sim$ , $y \mapsto [y]_{\sim}$ .
Mám problém s definicí té relace $\sim$ .
Vím, že na množině $Y \setminus (h_*X \cup k_*X)$ , (kde $h_*X$ je obraz $X$ fce $h$ ) jsou jen jednoprvkové třídy $Y/\sim$ , tj. $y \in Y \setminus (h_*X \cup k_*X) \Rightarrow [y]_{\sim}=\{y\}$ .
Dále, $y \in(h_*X \cup k_*X) \Rightarrow [y]_{\sim} \supset \{\tilde{y} \in Y; \; (h(x)=\tilde{y} \wedge k(x)=y) \vee (k(x)=\tilde{y} \wedge h(x)=y )\}$ . Ale formálně nejsem schopna napsat celý předpis pro tu ekvivalenci.
(Značím $[y]_{\sim}=\{\tilde{y}; \; \tilde{y} \sim y\}$ )

Podívám se na pm a Tvé navržené řešení, snad mé představy výše nebudou úplně mimo.

Andrejka3

↑ vanok:
Takže to vypadá podle pm, že jsem nešla úplně špatnou cestou. Myslím, že bych to mohla už díky tomu dořešit. Až se tak stane, napíšu zde řešení.
Díky moc!

Edit: vlastně jsem dostala celé řešení, takže jen opíšu zbytek:
Relace $\sim$ se dostane jako tranzitivní uzávěr relace $E$ , kde
$yEy' \iff (y=y') \vee (\exists x \in X: \; \{h(x),k(x) \} = \{y,y' \} )$ .

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2012 10:33 — Editoval Andrejka3 (17. 10. 2012 12:55)

Univerzální prvek

#2 17. 10. 2012 14:34

Re: Univerzální prvek

#3 17. 10. 2012 15:56

Re: Univerzální prvek

#4 17. 10. 2012 16:08 — Editoval Andrejka3 (17. 10. 2012 21:03)

Re: Univerzální prvek

Zápatí