Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 17. 10. 2012 10:33 — Editoval Andrejka3 (17. 10. 2012 12:55)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Univerzální prvek

Ahoj,
pomozte mi, prosím, s nalezením univerzálního prvku pofunktoru $\mathcal{G}$ funktoru $\mathcal{F}$,
kde $\mathcal{F}=(\cdot)^Y$ je exponenciální funktor ($Y$ je nějaká zadaná množina).
Pro libovolnou množinu $S$ je podfunktor definován $\mathcal{G}(S) = \{f; \: f : Y \rightarrow S \: \wedge \: f \circ h= f \circ k \}$, kde $h,k$ jsou zadané fce $X \rightarrow Y$.
Našla jsem něco, co by s tím mělo souviset: Wikipedia
Možná to tam je přímo napsané, ale mě to nedochází.
Díky.

Definice:
Univerzální prvek:



Funktor:


Exponenciální funktor:


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Andrejka3)

#2 17. 10. 2012 14:34

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Univerzální prvek

ahoj, len mala poznamka;

v teorii kategorii, je zvykom representovat situcie vdaka funkcnym diagramom.

Vies ako sa tvoria taketo veci vdaka latexu?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 17. 10. 2012 15:56

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Univerzální prvek

↑ vanok:
Ahoj, ano, v latexu používám \xymatrix{}
Chybí mi tam některé druhy šipek, jaký používáš ty?

Jinak, napadlo mě ještě toto:
Volím si libovolnou (neprázdnou) množinu $S$. Volim $s \in \mathcal{G}S$, takže $s :Y \rightarrow S$. Pokud je $u \in \mathcal{G}R$ univerzální prvek, pak musí existovat právě jedna $\tau:R \rightarrow S$ tak, že
$\tau \circ u = s$ tedy $\tau (u(y)) = s(y), \; y \in Y$ by mě mělo jednoznačně definovat fci $\tau$. Tuším, že by mělo být $R= Y/\sim$, tj. faktorová množina podle jisté ekvivalence, univerzální prvek $u$ pak bude projekce $Y \rightarrow Y/\sim$, $y \mapsto [y]_{\sim}$.
Mám problém s definicí té relace $\sim$.
Vím, že na množině $Y \setminus (h_*X \cup k_*X)$, (kde $h_*X$ je obraz $X$ fce $h$) jsou jen jednoprvkové třídy $Y/\sim$, tj. $y \in Y \setminus (h_*X \cup k_*X) \Rightarrow [y]_{\sim}=\{y\}$.
Dále, $y \in(h_*X \cup k_*X) \Rightarrow [y]_{\sim} \supset \{\tilde{y} \in Y; \; (h(x)=\tilde{y} \wedge k(x)=y) \vee (k(x)=\tilde{y} \wedge h(x)=y )\}$. Ale formálně nejsem schopna napsat celý předpis pro tu ekvivalenci.
(Značím $[y]_{\sim}=\{\tilde{y}; \; \tilde{y} \sim y\}$)

Podívám se na pm a Tvé navržené řešení, snad mé představy výše nebudou úplně mimo.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#4 17. 10. 2012 16:08 — Editoval Andrejka3 (17. 10. 2012 21:03)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Univerzální prvek

↑ vanok:
Takže to vypadá podle pm, že jsem nešla úplně špatnou cestou. Myslím, že bych to mohla už díky tomu dořešit. Až se tak stane, napíšu zde řešení.
Díky moc!

Edit: vlastně jsem dostala celé řešení, takže jen opíšu zbytek:
Relace $\sim$  se dostane jako tranzitivní uzávěr relace $E$, kde
$yEy' \iff (y=y') \vee (\exists x \in X: \; \{h(x),k(x) \} = \{y,y' \} )$.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson