Matematické Fórum

Kouří se mi v hlavě · 05. 11. 2012 23:19

Ahoj,

mým úkolem je zjistit, která čísla se skrývají za těmito sumami:

Nechala jsem je vygenerovat pomocí WA a vidím v nich Fibonacciho posloupnost.
Jak by se ovšem daly ty sumy zjednodušit, aby to bylo vidět na první pohled?

Díky za pomoc.

Brano · 06. 11. 2012 00:29 — Editoval Brano (06. 11. 2012 00:31)

Ahoj
$\sum_0^n{n+k \choose n-k}=1+\sum_0^{n-1}{n+k+1 \choose n-k-1}$
$\sum_0^n{n+k+1 \choose n-k}=1+\sum_0^{n-1}{n+k+1 \choose n-k}$
${n+k+1 \choose n-k-1}+{n+k+1 \choose n-k}={n+k+2 \choose n-k}$
$\sum_0^{n+1}{n+1+k \choose n+1-k}=2+\sum_0^{n-1}{n+k+2 \choose n-k}$
druhu polovicu podobne.

Kouří se mi v hlavě · 06. 11. 2012 10:34

↑ Brano:

Bohužel nevím jak, mohl bys prosím připojit i komentář operací?
(Nevím, jak upravovat kombinační čísla, mea culpa, na to stačí držet se základních vlastností, co uvádí Wiki?) Moje mezery jsou v kombinatorice opravdu obrovské, sorry za ně, snažím se to co nejrychleji napravit..

Brano · 06. 11. 2012 12:31 — Editoval Brano (06. 11. 2012 12:33)

Prvy vztah: prvy clen sumy (pre $k=0$ ) vlavo ${n\choose n}=1$ a ostatne su potom v sume $k=1..n$ urob substituciu $j=k-1$ a mas tu sumu vpravo ak premenujes naspat $j$ na $k$ .
Druhy vztah: tu som len vybral posledny clen ${2n+1\choose 0}=1$ .
Treti vztah: http://cs.wikipedia.org/wiki/Kombina%C4 … D%C3%ADslo
zakladna vlastnost - piata zhora - mozes si lahko dokazat z faktorialoveho vyjadrenia.
Stvrty vztah: tam je vybraty prvy aj posledny clen, ktore su znova 1 a substitucia v indexe $j=k-1$ a znova premenovat naspat na $k$ .
Teraz ked scitas prvu a druhu rovnost a vpravo pouzijes treti vztah, tak ti vyjde, ze "prva suma s n"+"druha suma s n" = "prva suma s (n+1)" (z toho ako je rozpisana v stvrtom vztahu).
Este potrebujes dokazat "druha suma s n" + "prva suma s (n+1)" = "druha suma s (n+1)"
a potom mas ukazane, ze je to naozaj Fibonacciho postupnost. To druhe je lahsie - vyskusaj si to sam, aby si si overil, ze si to pochopil.

Kouří se mi v hlavě · 13. 11. 2012 01:17

↑ Brano:↑ Brano:

Chápu první tři kroky.
Čtvrtý mi není moc jasný.
Co je "prva suma s n"+"druha suma s n" ?

Mohla bych poprosit o dokončení, třeba by mi to bylo jasnější, jelikož bych viděla, kam se mám dostat?

Díky!

Brano · 13. 11. 2012 12:43

$a_n=\sum_0^n{n+k \choose n-k}$
$b_n=\sum_0^n{n+k+1 \choose n-k}$

Chces dokazat, ze $a_0,b_0,a_1,b_1,a_2,b_2,...,a_n,b_n,...$ je Fibonacciho postupnost, cize musis ukazat, ze $a_n+b_n=a_{n+1}$ a $b_n+a_{n+1}=b_{n+1}$ a ze $a_0=b_0=1$ . To posledne je lahke.

Ja som ti ukazoval ako sa zvladne $a_n+b_n=a_{n+1}$
$a_n$ a $b_n$ si upravis tak ako som napisal

$a_n+b_n=\sum_0^n{n+k \choose n-k}+\sum_0^n{n+k+1 \choose n-k}=1+\sum_0^{n-1}{n+k+1 \choose n-k}+1+\sum_0^{n-1}{n+k+1 \choose n-k-1}=$
$2+\sum_0^{n-1}\left[{n+k+1 \choose n-k}+{n+k+1 \choose n-k-1}\right]=2+\sum_0^{n-1}{n+k+2 \choose n-k}=\sum_0^{n+1}{n+1+k \choose n+1-k}=a_{n+1}$
A ak to spravne chapem, tak nerozumies odkial sa vzala predposledna rovnost, tak tu je rozpisana.
$\sum_0^{n+1}{n+1+k \choose n+1-k}={n+1 \choose n+1}+\sum_1^{n}{n+1+k \choose n+1-k}+{2n+2 \choose 0}=1+\sum_0^{n-1}{n+k+2 \choose n-k}+1$

a teraz $b_n+a_{n+1}=b_{n+1}$

$b_n+a_{n+1}=\sum_0^n{n+k+1 \choose n-k}+\sum_0^{n+1}{n+1+k \choose n+1-k}=\sum_0^n\left[{n+k+1 \choose n-k}+{n+1+k \choose n+1-k}\right]+{2n+2 \choose 0}=$
$\sum_0^n{n+k+2 \choose n+1-k}+1=\sum_0^{n+1}{n+k+2 \choose n+1-k}=b_{n+1}$