Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 11. 2012 20:32

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

determinant obecné matice

Zdravím.

Je dána matice řádu nxn:

a1  x   x  ... x
x   a2  x  ... x
x    x  a3 ... x
.     .    .      .
.     .    .      .
x    x    x   an

úkolem je spočítat determinant. Myslíte že se dá odvodit nějaké řešení pro n? Díky


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Honza90)

#2 09. 11. 2012 21:01

check_drummer
Příspěvky: 3867
Reputace:   91 
 

Re: determinant obecné matice

↑ Honza90:
Ahoj, ta "x" jsou libovolné prvky (v každém poli obecně různé) a nebo se jedná ve všech polích o jeden stále stejný prvek (x)?


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Online

 

#3 09. 11. 2012 21:05

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: determinant obecné matice

↑ check_drummer:
x je všude jeden a ten samý prvek


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#4 09. 11. 2012 21:13

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: determinant obecné matice

↑ Honza90:

Ahoj,

myslím, že ano.

Postupoval jsem tak, že jsem poslední sloupec odečetl od všech zbylých. Potom jsem udělal Laplaceův rozvoj podle prvního řádku. Dostal jsem dva členy. V jednom se objeví stejný determinant s prvky $a_2$$a_n$. V druhém členu provedeme rozvoj podle prvního sloupce. Takhle dostaneme předpis pro determinant matice nxn pomocí determinantu matice (n-1)x(n-1). Spočítal jsem si prvních pár determinantů, odhadl obecný vzorec a ten matematickou indukcí dokázal. Vyšlo mi

$\prod_{i=1}^{n}(a_i-x)+x\sum_{i=1}^n\prod_{j\in\{1,2,\ldots, n\}\setminus \{i\}}(a_j-x)$

Offline

 

#5 09. 11. 2012 21:50

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: determinant obecné matice

↑ Pavel Brožek:
No moc přesvědčen nejsem. Po odečtení posledního sloupce od ostatních dostanu v posledním řádku členy typu $x-a_{n}$ ale ty ve tvém vzorci chybí.


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#6 09. 11. 2012 22:44

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: determinant obecné matice

↑ Honza90:

No když si po tom odečtení posledního sloupce uděláš rozvoj podle posledního řádku, tak uvidíš, že dostaneš $a_n\cdot\prod_{i=1}^{n-1}(a_i-x)+(x-a_n)(\ldots)$, kde ty tři tečky už nezávisí na $a_n$. Mně to teda přijde dost podobné tomu mému řešení. Snad tě to už přesvědčilo dostatečně, aby sis ten postup prošel, opravdu se mi tu nechce vypisovat se s těmi maticemi, na papíře je to jednodušší. :-)

A ani bych neřekl, že v mém vzorci chybí. V prvním členu je ten člen vždy, v tom druhém je tam pro $i\neq n$.

Offline

 

#7 09. 11. 2012 22:54 — Editoval Honza90 (09. 11. 2012 22:59)

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: determinant obecné matice

↑ Pavel Brožek:
Já na to chtěl jít jen pomocí permutací a vyhnout se úplně Laplaceovi, ale to se nepodařilo. Takhle je to asi jediný způsob, i když do toho teď úplně nevidím. Např. jak to bude se znaménky?


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#8 09. 11. 2012 23:04

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: determinant obecné matice

Poznamka
Ja by som skor od prveho stlpca odpocital druhy
od druheho treti
atd   a nakoniec by som rozvynul podla posledneho stlpca.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 09. 11. 2012 23:20 — Editoval vanok (10. 11. 2012 03:39)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: determinant obecné matice

Vysledok:
Zda sa mi, ze  hladany determinant je
$a_1a_2...a_n(\frac 1x+\frac 1{a_1-x}+...+ \frac 1{a_n-x})$
Édit: tento vysledok je SPATNY


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 09. 11. 2012 23:40

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: determinant obecné matice

↑ vanok:
takhle by to mělo vyjít podle učebnice. Místo sloupců by ale stejně tak dobře šlo odečítat řádky, je to tak?


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#11 10. 11. 2012 00:33 — Editoval Pavel Brožek (10. 11. 2012 00:36)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: determinant obecné matice

↑ vanok:, ↑ Honza90:

Koukám na to jak blázen, že se shodnete na výsledku, který mi připadá na první pohled nesmyslný. Vždyť determinant je evidentně polynom v x. $a_1a_2...a_n(\frac 1x+\frac 1{a_1-x}+...+ \frac 1{a_n-x})$ rozhodně není polynom v x. Asi se vyspím a podívám se na to ráno, třeba mi dojde něco, co mi teď absolutně uniká…

Vždyť ani pro jednoduchý případ x=0 to nedá správný výsledek (ani když se to vezme v limitě).

Offline

 

#12 10. 11. 2012 00:54

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: determinant obecné matice

Když se na to ještě dívám, tak ten můj výsledek se dá přepsat (pokud $x\not\in\{0,a_1,\ldots,a_n\}$) jako

$x(a_1-x)(a_2-x)\ldots(a_n-x)\(\frac1x+\frac1{a_1-x}+\ldots+\frac1{a_n-x}\),$

to už se značně podobá vašemu výsledku, ale přesto se to neshoduje. Asi se zítra bude muset někdo z nás rozepsat se svým řešením… :-)

Offline

 

#13 10. 11. 2012 03:00

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: determinant obecné matice

Ahoj ↑ Pavel Brožek:,
Tvoj vysledok je spravny.
To som asi uz na poly spal.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 10. 11. 2012 03:15 — Editoval check_drummer (10. 11. 2012 20:21)

check_drummer
Příspěvky: 3867
Reputace:   91 
 

Re: determinant obecné matice

Ahoj, také přispěju svou troškou do diskuse (rovněž neskrývám text):
1) Odečtu od n-tého řádku řádek (n-1)-ní, od (n-1)-ního (n-2)-hý, .. od j-tého (j-1)-ní, od 2-hého 1-ní.
Takto získám v prvním řádku a1,x,x..,x), na hlavní diagonále prvky a1,a2-x,a3-x,..,an-x a na vedlejší diagonále (pod hlavní diagonálou) prvky x-a1,x-a2,..,x-an. Všude jinde budou 0.

2) Podle definice spočtu determinant.
a) Je-li v členu determinantu prvek a1 (1. řádek, 1. sloupec), musí již tento člen obsahovat všechny prvky hlavní diagonály, tj. je tvaru
$a1.(a_2-x)...(a_n-x)$ (tomuto členu odpovídá sudá permutace, tj. koeficient u členu je 1)
b) Je-li v členu determinantu prvek x-a1 (2. řádek, 1. sloupec), pak, jak se snadno rozmyslí, bude tento člen tvaru
$(x-a_1).(x-a_2)...(x-a_{j-1}).x.(a_j-x)...(a_n-x)$. Počet transpozic je roven j-1 (do počtu traspozic přispívá jen vztah prvku x k předešlým prvkům - x je v prvním řádku), tedy koeficient tohoto členu je (-1)^{j-1}. Jak si snadno rozmyslíme, uvedený člen lze tedy upravit na tvar $x.(a_1-x).(a_2-x)...(a_{j-1}-x).(a_j-x)...(a_n-x)$. Každému j=2,...,n odpovídá jeden člen determinantu a více členů determinant nemá.

Nyní by stačilo členy sečíst a záskáme hodnotu determinantu. Použijeme však ještě úpravu, kdy budeme předpokládat, že $a_i \neq x $ (Edit: smazána poznámka o hodnotě determinantu), položíme
$S:=\prod_{i=1}^{n}{(a_i-x)}$. Pak lze výše uvedené členy upravit na:
ad 1) $(a_1-x+x).(a_2-x)...(a_n-x)=S+x.\frac{S}{a_1-x}$
ad 2) $x.\frac{S}{a_j-x}$
a tedy sečtením získáme hodnotu determinantu
$S.(1+x.\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{a_i-x}})$.

(Což je jak koukám de facto výsledek, který má i Pavel.)


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Online

 

#15 10. 11. 2012 03:18

check_drummer
Příspěvky: 3867
Reputace:   91 
 

Re: determinant obecné matice

Ještě mě napadlo, zda by nebylo možné najít pro zadanou matici A vhodnou matici B takovou, že pro A.B=C bychom uměli detC i detB spočítat, pak bychom tedy znali i detA.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Online

 

#16 10. 11. 2012 03:59 — Editoval vanok (11. 11. 2012 23:57)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: determinant obecné matice

↑ check_drummer:,
Napadla ma ina metoda, inspirovanou zo slavnej knihy Polya, Szego; Problem and Theorem in Analysis II
Najprv sa dokazat,  ze
$\det (a_{i,j} +y)= \det (a_{i,j}) +y \sum_{i,j} A_{i,j}$
kde $A_{i,j}$ je kofaktor $(i,j)$ matice $(a_{i,j})$
Dokaz:



Najprv sa budem zaoberat determinantom $A$ ktoreho cleny su

a1  b   b  ... b
a   a2  b  ... b
a    a  a3 ... b
.     .    .      .
.     .    .      .
a    a    a   an

Je jednoduche konstatovat, ze

$\det(A-(a))=\prod_i (a_i-a)= \det A - a\sum_{i,j} A_{i,j}$
a
$\det(A-(b))=\prod_i (a_i-b)=\det A - b \sum_{i,j}A_{i,j}$

Eliminacia $\sum_{i,j}A_{i,j}$ da:pre $a \neq b$

$\det A= \frac {b\prod_i (a_i-a)-a\prod_i (a_i-b)}{b-a}$

Ak $a=b$, (akoze det je spojita funkcia $n^2$ jeho koeficientov,a naviac je to polynom z $n^2$ neznamymy (variables).
Tak fixujme $a$ a hladajme limitu najdeneho vyrazu pre $b$, co sa priblizuje k $a$:
$\lim _{b \to a} \frac {b\prod_i (a_i-a)-a\prod_i (a_i-b)}{b-a}$, co vlastne je derivacia $ b\prod_i (a_i-a)-a\prod_i (a_i-b)$ v bode $a$ (premenna b)

Cize mame $\det A=\prod_i (a_i-a)-a\(\prod_i (a_i-a)\)'$ (pre $a=b$)

Poznamka:


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#17 10. 11. 2012 08:53

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: determinant obecné matice

↑ check_drummer:

Pokud jedno $a_i$ bude rovno $x$, ještě to neznamená, že determinant bude nulový.

Offline

 

#18 10. 11. 2012 14:02

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: determinant obecné matice

↑ vanok:

Myslím, že místo

$\det(A-(b))=\prod_i (a_i-b)=\det A - a A_{i,j}$

by mělo být

$\det(A-(b))=\prod_i (a_i-b)=\det A - b\sum_{i,j} A_{i,j}$

a podobně o řádek výš chybí znak sumy, ale to ses asi jen přepsal, jinak mi přijde řešení v pořádku. Pěkné :-).

Offline

 

#19 10. 11. 2012 14:26 — Editoval vanok (10. 11. 2012 14:47)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: determinant obecné matice

↑ Pavel Brožek:, dakujem za precitanie prispevku. Ano mas pravdu z tym suctom. Reeditujem to hned.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#20 10. 11. 2012 20:19

check_drummer
Příspěvky: 3867
Reputace:   91 
 

Re: determinant obecné matice

↑ Pavel Brožek:
Díky, už mi to asi v noci nemyslelo, upravím.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Online

 

#21 10. 11. 2012 23:23

check_drummer
Příspěvky: 3867
Reputace:   91 
 

Re: determinant obecné matice

↑ vanok:
Ahoj, mohl bys prosím trošku více rozepsat důkaz tvrzení
$\det (a_{i,j} +y)= \det (a_{i,j}) +y \sum_{i,j} A_{i,j}$
? (Hide jsem si otevřel, ale nevidím, jak ten vztah z linearity determinantu plyne. Předpokládám, že más na mysli linearitu vzhledem k nějakému řádku/sloupci.)
Děkuji


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Online

 

#22 11. 11. 2012 00:12

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: determinant obecné matice

↑ check_drummer:,
Ak to takto nevidis, skus napisat 8 matric linearnych podla stlpcou, ako som ta tam poradil...a som isty ze to okamzite pochopis.
Inac v poslednej poznamke, som dal este iny (nepresnejsi, ale dostatocny) dokaz, podla indikacie v knihe od Polya.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#23 11. 11. 2012 15:38

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: determinant obecné matice

Jste hodní, že jste se do toho takhle pustili. Mě by bývalo stačilo jen nakopnout. :)


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#24 11. 11. 2012 15:45

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: determinant obecné matice

Ahoj ↑ Honza90:,
Tak nam napis aspon vysledky tvojej prace.
Co, napriklad pisal ja, ti da aj metodu na ine vypocty.
Dobre pokracovanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#25 11. 11. 2012 22:36

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: determinant obecné matice

↑ vanok:
Nemělo tam být $\det A= \frac {a\prod_i (a_i-a)-b\prod_i (a_i-b)}{b-a}$ ?


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson