Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1 2
Zdravím.
Je dána matice řádu nxn:
a1 x x ... x
x a2 x ... x
x x a3 ... x
. . . .
. . . .
x x x an
úkolem je spočítat determinant. Myslíte že se dá odvodit nějaké řešení pro n? Díky
Offline
↑ Honza90:
Ahoj, ta "x" jsou libovolné prvky (v každém poli obecně různé) a nebo se jedná ve všech polích o jeden stále stejný prvek (x)?
Offline
↑ check_drummer:
x je všude jeden a ten samý prvek
Offline
↑ Honza90:
Ahoj,
myslím, že ano.
Postupoval jsem tak, že jsem poslední sloupec odečetl od všech zbylých. Potom jsem udělal Laplaceův rozvoj podle prvního řádku. Dostal jsem dva členy. V jednom se objeví stejný determinant s prvky až . V druhém členu provedeme rozvoj podle prvního sloupce. Takhle dostaneme předpis pro determinant matice nxn pomocí determinantu matice (n-1)x(n-1). Spočítal jsem si prvních pár determinantů, odhadl obecný vzorec a ten matematickou indukcí dokázal. Vyšlo mi
Offline
↑ Pavel Brožek:
No moc přesvědčen nejsem. Po odečtení posledního sloupce od ostatních dostanu v posledním řádku členy typu ale ty ve tvém vzorci chybí.
Offline
↑ Honza90:
No když si po tom odečtení posledního sloupce uděláš rozvoj podle posledního řádku, tak uvidíš, že dostaneš , kde ty tři tečky už nezávisí na . Mně to teda přijde dost podobné tomu mému řešení. Snad tě to už přesvědčilo dostatečně, aby sis ten postup prošel, opravdu se mi tu nechce vypisovat se s těmi maticemi, na papíře je to jednodušší. :-)
A ani bych neřekl, že v mém vzorci chybí. V prvním členu je ten člen vždy, v tom druhém je tam pro .
Offline
↑ Pavel Brožek:
Já na to chtěl jít jen pomocí permutací a vyhnout se úplně Laplaceovi, ale to se nepodařilo. Takhle je to asi jediný způsob, i když do toho teď úplně nevidím. Např. jak to bude se znaménky?
Offline
Poznamka
Ja by som skor od prveho stlpca odpocital druhy
od druheho treti
atd a nakoniec by som rozvynul podla posledneho stlpca.
Offline
Vysledok:
Zda sa mi, ze hladany determinant je
Édit: tento vysledok je SPATNY
Offline
↑ vanok:, ↑ Honza90:
Koukám na to jak blázen, že se shodnete na výsledku, který mi připadá na první pohled nesmyslný. Vždyť determinant je evidentně polynom v x. rozhodně není polynom v x. Asi se vyspím a podívám se na to ráno, třeba mi dojde něco, co mi teď absolutně uniká…
Vždyť ani pro jednoduchý případ x=0 to nedá správný výsledek (ani když se to vezme v limitě).
Offline
Když se na to ještě dívám, tak ten můj výsledek se dá přepsat (pokud ) jako
to už se značně podobá vašemu výsledku, ale přesto se to neshoduje. Asi se zítra bude muset někdo z nás rozepsat se svým řešením… :-)
Offline
Ahoj ↑ Pavel Brožek:,
Tvoj vysledok je spravny.
To som asi uz na poly spal.
Offline
Ahoj, také přispěju svou troškou do diskuse (rovněž neskrývám text):
1) Odečtu od n-tého řádku řádek (n-1)-ní, od (n-1)-ního (n-2)-hý, .. od j-tého (j-1)-ní, od 2-hého 1-ní.
Takto získám v prvním řádku a1,x,x..,x), na hlavní diagonále prvky a1,a2-x,a3-x,..,an-x a na vedlejší diagonále (pod hlavní diagonálou) prvky x-a1,x-a2,..,x-an. Všude jinde budou 0.
2) Podle definice spočtu determinant.
a) Je-li v členu determinantu prvek a1 (1. řádek, 1. sloupec), musí již tento člen obsahovat všechny prvky hlavní diagonály, tj. je tvaru
(tomuto členu odpovídá sudá permutace, tj. koeficient u členu je 1)
b) Je-li v členu determinantu prvek x-a1 (2. řádek, 1. sloupec), pak, jak se snadno rozmyslí, bude tento člen tvaru
. Počet transpozic je roven j-1 (do počtu traspozic přispívá jen vztah prvku x k předešlým prvkům - x je v prvním řádku), tedy koeficient tohoto členu je (-1)^{j-1}. Jak si snadno rozmyslíme, uvedený člen lze tedy upravit na tvar . Každému j=2,...,n odpovídá jeden člen determinantu a více členů determinant nemá.
Nyní by stačilo členy sečíst a záskáme hodnotu determinantu. Použijeme však ještě úpravu, kdy budeme předpokládat, že (Edit: smazána poznámka o hodnotě determinantu), položíme
. Pak lze výše uvedené členy upravit na:
ad 1)
ad 2)
a tedy sečtením získáme hodnotu determinantu
.
(Což je jak koukám de facto výsledek, který má i Pavel.)
Offline
Ještě mě napadlo, zda by nebylo možné najít pro zadanou matici A vhodnou matici B takovou, že pro A.B=C bychom uměli detC i detB spočítat, pak bychom tedy znali i detA.
Offline
↑ check_drummer:,
Napadla ma ina metoda, inspirovanou zo slavnej knihy Polya, Szego; Problem and Theorem in Analysis II
Najprv sa dokazat, ze
kde je kofaktor matice
Dokaz:
Offline
↑ check_drummer:
Pokud jedno bude rovno , ještě to neznamená, že determinant bude nulový.
Offline
↑ vanok:
Myslím, že místo
by mělo být
a podobně o řádek výš chybí znak sumy, ale to ses asi jen přepsal, jinak mi přijde řešení v pořádku. Pěkné :-).
Offline
↑ Pavel Brožek:, dakujem za precitanie prispevku. Ano mas pravdu z tym suctom. Reeditujem to hned.
Offline
↑ Pavel Brožek:
Díky, už mi to asi v noci nemyslelo, upravím.
Offline
↑ vanok:
Ahoj, mohl bys prosím trošku více rozepsat důkaz tvrzení
? (Hide jsem si otevřel, ale nevidím, jak ten vztah z linearity determinantu plyne. Předpokládám, že más na mysli linearitu vzhledem k nějakému řádku/sloupci.)
Děkuji
Offline
↑ check_drummer:,
Ak to takto nevidis, skus napisat 8 matric linearnych podla stlpcou, ako som ta tam poradil...a som isty ze to okamzite pochopis.
Inac v poslednej poznamke, som dal este iny (nepresnejsi, ale dostatocny) dokaz, podla indikacie v knihe od Polya.
Offline
Ahoj ↑ Honza90:,
Tak nam napis aspon vysledky tvojej prace.
Co, napriklad pisal ja, ti da aj metodu na ine vypocty.
Dobre pokracovanie.
Offline
Stránky: 1 2