Matematické Fórum

majoSLOVAKIA

$lim_{x->1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}$

Nazdar prosim Vas mohol by mi s tymo niekto pomoct?
Nemam vysledok. Vyslo mi to $\frac{m+1}{n+1}$

alebo zeby takto?
$\lim_{x->1}\frac{(x-1)(x^{\frac{1}{m}-1}+x^{\frac{1}{m}-2}+...+1)}{(x-1)(x^{\frac{1}{n}-1}+x^{\frac{1}{n}-2}+...+1)}=\frac{(m-1)+1}{(n-1)+1}=\frac{m}{n}$

Dakujem

jelena · 26. 11. 2012 21:09

Zdravím,

pokud jsi rozšiřoval podle vzorců, potom se mi zdá, že jsi trochu zamotal - když rozšiřuješ čitatel a vznikne (x-1), potom je třeba rozšiřující výraz poslat do jmenovatele a naopak. Navíc se nepodařilo použit sprývně exponenty - zkus ještě překontrolovat, ale nápad je to dobrý.

Výsledek jsem kontrolovala l´Hospital (podmínky jsou splněny), vyšlo mi n/m.

majoSLOVAKIA · 26. 11. 2012 21:43

↑ jelena:
Dik za odpoved. Ja som vyraz nerozsiroval. Pouzil som vzorec $a^{k}-b^{k}$

jelena · 26. 11. 2012 22:33

↑ majoSLOVAKIA:

já bych tomu řekla, že rozšiřoval. Abychom se rozuměli, můžeš, prosím, rozepsat Tvé použití vzorce pro případ $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}$ ? Děkuji.

majoSLOVAKIA · 26. 11. 2012 23:42

↑ jelena:
Sorry, ale som z toho uz uplny magor.

jelena · 27. 11. 2012 12:23

neplatí, když udělám jen takovou úpravu - rozšíření do vzorců a dál v odkazu
$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}\neq\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}-1)((\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1)}$

třeba upravit tak:

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}-1)((\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{(x-1)(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}$

Dá se v tom vyznat? Jinak dle l´Hospital to je na jeden krok, ale asi ještě nemůžete použit.

majoSLOVAKIA

↑ jelena:
Sorry ,ale nevyznam sa v tom. Nevidim tam to rozsirenie.
Pouzit vzorec predsa neznamena rozsirenie zlomku.
Nemozeme este pouzit L Hospitala.

majoSLOVAKIA

↑ majoSLOVAKIA:
takto si myslela to rosirenie? dik

$\frac{\frac{(\sqrt[m]{x}-1)(\sqrt[m]{x}+1)}{(\sqrt[m]{x}+1)}}{\frac{(\sqrt[n]{x}-1)(\sqrt[n]{x}+1)}{(\sqrt[n]{x}+1)}}=\frac{(\sqrt[n]{x}+1)(\sqrt[m]{x}-1)(\sqrt[m]{x}+1)}{(\sqrt[m]{x}+1)(\sqrt[n]{x}-1)(\sqrt[n]{x}+1)}=\frac{(\sqrt[n]{x}+1)(x-1)}{(\sqrt[m]{x}+1)(x-1)}=\frac{(\sqrt[n]{x}+1)}{(\sqrt[m]{x}+1)}=$

jelena · 27. 11. 2012 13:08

↑ majoSLOVAKIA:

jsem časově celkem mimo dosah, budu se snažit podívat na Tvé téma pozdě večer, pokud ještě bude třeba.

Pokud jsi použil vzorec
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+\cdots+b^{n-1})$ , pro Tvůj případ:
$(\sqrt[m]x)^m-1^m=(\sqrt[m]x-1)(\sqrt[m]x^{m-1}+\sqrt[m]x^{m-2}1^1+\sqrt[m]x^{m-3}1^2+\cdots+1^{m-1})$ ,

vyjádří z toho, prosím, $(\sqrt[m]x-1)$ , což je Tvůj původní čitatel, obdobně provedeš pro jmenovatel a uvidiš, co se doplní do čitatele, jmenovatele po úpravě. Ať se podaří.

((:-)) · 27. 11. 2012 13:21 — Editoval ((:-)) (27. 11. 2012 13:31)

↑ majoSLOVAKIA:

Modré činitele dodávaš, aby "odišla" druhá odmocnina [(a-b)(a+b) = a^2 - b^2]
a červené preto, aby "odišla" tretia odmocnina [(a-b)(a^2 + ab + b^2)=a^3 - b^3], kde a, b sú tie odmocniny .

To je to rozširovanie, nemôžeš "pridávať" iba v čitateli alebo iba v menovateli. Fialový je výsledok súčinu prvých dvoch činiteľov čitateľa a aj menovateľa.

Pôvodné výrazy berieš ako tie vyňaté zátvorky zo vzorca a dopĺňaš na vzorec tie farebné zátvorky, cieľ je dať tie odmocniny preč (na ich odstránenie musíš zvoliť vhodný vzorec)...

Všetko Ti to napísala Jelena...

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}-1)\color{blue}(\sqrt{x}+1)\color{red}(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}-1)(\color{red}(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1\color{black})\color{blue}(\sqrt{x}+1)}=\frac{\color{magenta}(x-1)\color{black}(\color{red}\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1\color{red})}{\color{magenta}(x-1)\color{black}(\color{blue}\sqrt{x}+1\color{black})}$

majoSLOVAKIA · 27. 11. 2012 13:51

↑ majoSLOVAKIA:

zeby takto?

$\frac{\frac{(\sqrt[m]{x}^{m}-1^{m})}{(\sqrt[m]{x}^{m-1}+\sqrt[m]{x}^{m-2}.1+...+1^{m-1})}}{\frac{(\sqrt[n]{x}^{n}-1^{n})}{(\sqrt[n]{x}^{n-1}+\sqrt[n]{x}^{n-2}.1+...+1^{n-1})}}=\frac{(\sqrt[n]{x}^{n-1}+\sqrt[n]{x}^{n-2}.1+...+1^{n-1})}{(\sqrt[m]{x}^{m-1}+\sqrt[m]{x}^{m-2}.1+...+1^{m-1})}=\frac{(n-1)+1}{(m-1)+1}=\frac{n}{m}$

Rumburak · 27. 11. 2012 14:23

↑ majoSLOVAKIA:

Nazdar. Limity tohoto typu lze velmi efektivně převést na výpočet derivací:

$\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[m]{1+h}-1}{\sqrt[n]{1+h}-1}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[m]{1+h}-1}{h}\cdot $\frac{\sqrt[n]{1+h}-1}{h}$^{-1} = \frac{1}{m}\cdot $\frac{1}{n}$^{-1}$ ,

protože podle definice derivace a základních vzorců je

$\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[k]{1+h}-1}{h} = $\sqrt[k]{x}$_{x=1}' = $x^{\frac{1}{k}}$_{x=1}' = \frac{1}{k}$x^{\frac{1}{k}-1}$_{x=1}=\frac{1}{k}$

majoSLOVAKIA · 27. 11. 2012 14:37

↑ Rumburak:

Dakujem, to je v podstate L Hospitalovo prvidlo c. 1.
Ale takto to nemam povolene riesit.

jelena · 27. 11. 2012 22:02

↑ majoSLOVAKIA:

mně (příspěvek 11) se to zdá v pořádku, jen neumím odvodit, proč máš (n-1)+1 (podle mne po dosazení je n*1 - máme n jedniček v čitateli), obdobně m jedniček v jmenovateli).

Jen na dovysvětlení. Děkuji.

majoSLOVAKIA · 28. 11. 2012 08:24

↑ jelena:

Dakujem.
No v citateli je az po ten posledny clen (n-1) jedniciek a ta posledna je +1.

Rumburak

↑ majoSLOVAKIA:

Tento ↑ Rumburak: postup není APLIKACÍ l'Hospitalova pravidla, ale naopak jeho DŮKAZEM PRO TENTO SPECIÁLNÍ PŘÍPAD.

Na tomtéž principu bychom mohli zvolit i jiný efektivní postup, který už l'Hospitalovo pravidlo nepřipomíná:

substitucí $h =\sqrt[n]{x}-1$ dostáváme $x = (1+h)^n$ a

$\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[m]{(1+h)^n}-1}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)^{\frac{n}{m}}-1^{\frac{n}{m}}}{h} = $x^{\frac{n}{m}}$'_{x=1} = \frac{n}{m}$ .

jelena · 28. 11. 2012 16:09

No v citateli je az po ten posledny clen (n-1) jedniciek a ta posledna je +1.

děkuji, rozumím - (n-1) jedniček dosazených za x a k tomu +1 ze vzorce.

↑ Rumburak:

Zdravím a děkuji,

kolega ↑ majoSLOVAKIA: zřejmě má obavu z každého výskytu derivace v zápisu - zřejmě zakázali natvrdo a definitivně :-)

majoSLOVAKIA · 29. 11. 2012 08:37

↑ jelena:

Dakujem vsetkym za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2012 14:25 — Editoval majoSLOVAKIA (26. 11. 2012 16:13)

limita

#2 26. 11. 2012 21:09

Re: limita

#3 26. 11. 2012 21:43

Re: limita

#4 26. 11. 2012 22:33

Re: limita

#5 26. 11. 2012 23:42

Re: limita

#6 27. 11. 2012 12:23

Re: limita

#7 27. 11. 2012 12:32 — Editoval majoSLOVAKIA (27. 11. 2012 12:33)

Re: limita

#8 27. 11. 2012 13:01 — Editoval majoSLOVAKIA (27. 11. 2012 13:11)

Re: limita

#9 27. 11. 2012 13:08

Re: limita

#10 27. 11. 2012 13:21 — Editoval ((:-)) (27. 11. 2012 13:31)

Re: limita

#11 27. 11. 2012 13:51

Re: limita

#12 27. 11. 2012 14:23

Re: limita

#13 27. 11. 2012 14:37

Re: limita

#14 27. 11. 2012 22:02

Re: limita

#15 28. 11. 2012 08:24

Re: limita

#16 28. 11. 2012 09:21 — Editoval Rumburak (28. 11. 2012 16:29)

Re: limita

#17 28. 11. 2012 16:09

Re: limita

#18 29. 11. 2012 08:37

Re: limita

Zápatí