Matematické Fórum

Bernyska · 05. 12. 2012 16:33

prosím o pomoc s tímto: sjednocení dvou podgrup grupy (G,.) obecně není podgrupou grupy (G,.), vím, když když najdu jeden příklad, kdy to neplatí, tak to mám vyřešené, za grupu jsem si zvolila celá čísla s operací sčítání, podgrupy mám sudá čísla ( $2\mathbb{Z}$ ;+) a ( $\{0\}$ ;+). šlo by to s těmito podgrupami? pokud ano nakopnete mě jak začít? děkuji

Andrejka3 · 05. 12. 2012 16:49

↑ Bernyska:
Ahoj.
Tvá druhá grupa, totiž triviální podgrupa Ti nemůže dát chtěný protipříklad, protože je obsažena v každé podgrupě celých čísel.
Ale jsi na správné cestě. Zkus vzít jako druhou podgrupu něco jiného.

Bernyska · 05. 12. 2012 16:52

tak kdybych vzala podgrupy (2Z,+) a (3Z,+)? to by už šlo?↑ Andrejka3:

Andrejka3 · 05. 12. 2012 16:54

↑ Bernyska:
Ano.
(A proč ano?)

Bernyska · 05. 12. 2012 16:59

protože pro podgrupu musí platit že je uzavřená na operaci sčítání a v tomto případě mám že 2+3=5 a 5 neleží ve sjednocení (2Z,+)U(3Z,+) ?↑ Andrejka3:

Andrejka3

↑ Bernyska:
Ano, $2+3$ není ve sjednocení.
Operace inverze na jedné podgrupě dá prvek té podgrupy (vždyť podgrupa je grupa :) )
Takže zbývá vzít jeden prvek z každé podgrupy a provést na tuto dvojici binární grupovou operaci - je to jediná šance, jak dostat něco co neleží ve sjednocení. A to jsi udělala s tou 2 a 3.
Edit: opravila ses, tak mažu nadbytečné.

Bernyska · 05. 12. 2012 17:27

takže to je vše??↑ Andrejka3:

kompik · 05. 12. 2012 17:56 — Editoval kompik (06. 12. 2012 18:10)

↑ Bernyska:
Na riešenie tej pôvodnej by to malo byť všetko.
Ak chceš, tak sa môžeš ešte zamyslieť nad tým, či by ťa tento príklad vedel naviesť k dôkazu všeobecnejšieho tvrdenia: Nech H1, H2 sú podgrupy grupy G. Potom $H_1\cup H_2$ je podgrupa práve vtedy, keď $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$ (t.j. jedna z nich je podmnožinou druhej).