Matematické Fórum

Nelze.

Nechť a, b jsou různá lichá přirozená čísla. Potom



Protože jsou a i b lichá, je zřejmě jejich součin lichý, ovšem součet sudý. Tím máme dokázáno pro k = 2.

Nyní ukážeme, že součet jakýchkoliv zlomků ve tvaru (a, b stále lichá) nemůže být 1, protože čitatel výsledného zlomku bude stále sudý, zatímco jmenovatel bude lichý.

Nechť e, f jsou lichá přirozená čísla a g, h sudá. Potom


Jmenovatel je zřejmě lichý (e i f lichá), v čitateli jsou ovšem oba členy sudé (g i h sudé), je tedy jejich součet sudý. Opět máme zlomek, který má v čitateli sudé číslo, ovšem ve jmenovateli liché; takový zlomek se zřejmě nemůže rovnat 1.

Protože jak jsme ukázali výše, součet dvou převrácených hodnot lichých čísel je zlomek sudé/liché a součet takovýchto zlomků je stále zlomek sudé/liché, nemůže být výsledek součtu nikdy 1.

Neodpovídá zadání, má jít o součet k převrácených hodnot lichých čísel, kde k je různé.

Teď mě ještě dodatečně napadá, že Marian neuvádí, že musí být ta lichá čísla různá. Všechny mnou uvedené postupy ale platí, i když jsou nějaká čísla stejná.

↑ Olin:↑ BrozekP:

Souhlasím s Vašimi úvahami a schvaluji řešení. Vskutku snadná úloha. Úloha se dá řešit i tak, že se uváží možnost, že takovéto vyjádření lze zkonstruovat a dospěje se ke sporu. Stačí pak násobit společným jmenovatelem reciprokých hodnot a podívat se na paritu čísla vlevo a vpravo od rovnítka.