Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 28. 12. 2012 12:31

simcilka
Příspěvky: 184
Reputace:   
 

průběh fce s parametrem

Ahoj, nemám dotaz spíš bych potřebovala poradit, jestli nevíte kde se dají sehnat nejlépe řešené příklady na průběh funkci s parametrem? hledala jsem na internetu i v učebnicích, ale nikde jsem nic nenašla. děkuji předem;-)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) simcilka)

#2 28. 12. 2012 13:00

simcilka
Příspěvky: 184
Reputace:   
 

Re: průběh fce s parametrem

Mám třeba zadaný příklad $f(x)=\frac{x^{2}+c}{x^{2}-c}$, kde $c\in \mathbb{R}$ rozdělila jsem to na c<0, c=0 a c>0 a pocítala jsem to pro každý případ zvlášť, ale nevím jak korektně zapsat když c=0 protože to mi vyjde konstantní fce kt. má definicni obor $ \mathbb{R}-\{0\}$, ale jak mám napsat derivace a tak???

Offline

 

#3 28. 12. 2012 13:31

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: průběh fce s parametrem

Ahoj. 

O literatuře na dané tema nic nevím, ale zkusím poradit s tím konkretním dotazem,  pokud jsem ho pochopil správně.

Je vhodné upravit funkci na co nejpříhodnější tvar, zde

    $f(x)=\frac{x^{2}+c}{x^{2}-c} = \frac{x^{2} - c + 2c}{x^{2}-c}  = 1 + \frac{2c}{x^{2}-c} $ ,

takže

    $f'(x)=\(1 + \frac{2c}{x^{2}-c}\)' = 2c \(\frac{1}{x^{2}-c}\)' = ...  $ ,

odtud je vidět , že pro $c = 0$ a přípustná $x$ je $f'(x) = 0$ , což v souladu s faktem, že jde o konstantní funkci.

Offline

 

#4 01. 01. 2013 19:42

simcilka
Příspěvky: 184
Reputace:   
 

Re: průběh fce s parametrem

jj, děkuji, tak jsem to tak napsala, ale nebyla jsem si jistá jestli je to korektní zápis. Mohla bych ještě konzultovat jeden příklad na vyšetřění průběhu fce s paramterem?
zadaní $f(x)=\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$, kde a je parametr $a\ge 0$
moje řešení: pro $a=0$ by vyšla odmocnina ze záporného čísla, takže tato fce na reálných číslech není definovana
pro $a>0$ musí být splněna podmínka, že $\frac{a-x}{a+x}\ge 0$ a to je bud $-x\ge x, kde a>-x$ nebo $-x\le  x, kde a<-x$ no a ted nevím jak to mám řešit dál, protože nevím jak zapsat definiční obor, a podle mých výpočtů limita v nekonečnu neexistuje,.. pomužete prosím? děkuji

Offline

 

#5 02. 01. 2013 09:37 — Editoval Rumburak (02. 01. 2013 09:42)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: průběh fce s parametrem

↑ simcilka:

Začal bych základním předpokladem

(1)    $x + a \ne 0$  ,

aby měl smysl ten zlomek.

Pro $a>0$ vynásobíme nerovnost $\frac{a-x}{a+x}\ge 0$ vvýrazem $(a + x)^2$ , který je dle (1) větší než 0,  a tím dostaneme
$(a-x)(a+x)\ge 0$$a^2 - x^2 \ge 0$  ,  $|x| \le a$$x \in (-a, a]$ (opět použito (1)).

Definičním oborem funkce $f(x)=\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$ pro $a>0$  je tedy interval   $(-a, a]$  .

Offline

 

#6 02. 01. 2013 15:48

simcilka
Příspěvky: 184
Reputace:   
 

Re: průběh fce s parametrem

↑ Rumburak:

dekuji, ja jsem se nakonec k tomuto taky dopočítala pres tohle $\frac{a-x}{a+x}\ge 0$ a rozkladala jsem si to, protoze jsem nechtela spekulovat nad tim co je vetsi nebo mensi nez nula.
ten napad vynasobit to $(a + x)^2$ by me nenapadlo, děkuji to jsme si už poznačila a mohu jeste pozadat o kontrolu, konce?
$\lim_{x \to -a}$ je  nekonecno, $\lim_{x \to a}$ je nula, derivace =$\frac{-a}{\sqrt{(a+x)^3(a-x)}}$,  takze  def obor derivace je (-a,a) a stacionarni bod je a. a ted nevim jak mam napsat kde je fce rostouci a klesajici, vyslo mi, ze pro menzi nez a bude klesajici a pro vetsi rostouci  a ze v a je lokalni min? je to spravne?  a dale jsem jeste pocitala $\lim_{x\to a} $ zprava zleva derivace a to mi vyšlo že neex.
dekuji

Offline

 

#7 02. 01. 2013 16:42

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: průběh fce s parametrem

↑ simcilka:

Pozor na to, že limity v krajních bodech intervalu, který je definičním oborem funkce,  nutno uvažovat pouze jako jednostranné.
Jejich hodnoty máš správně.

Derivace mi vyla také tak.  Avšak pro $a>0$ má všude zápornou hodnotu (stacionární bod funkce $f$, v němž by měla
její derivace  hodnotu 0, tedy neexistuje).

Výsledek $f'(x) < 0$ v $(-a, a)$ znamená, že funkce $f$ je v tomto intervalu klesající. V bodě $a$ je spojitá zleva,
proto z předchozího vyplývá, že v tomto bodě nabývá svého jediného lokálního (a zároveň absolutního) minima.
Jiných extrémů na svém def. oboru nemá.

Odpovídající jedostranné limity derivace v krajních bodech existují, ale jsou nevlastní (v obou případech $-\infty$).

Offline

 

#8 02. 01. 2013 21:02

simcilka
Příspěvky: 184
Reputace:   
 

Re: průběh fce s parametrem

↑ Rumburak:

děkuji již jsem si to opravila;-) dále mi vyšlo že je konkávní na D(f) a obor hodnot je (0, nekonecno)

Offline

 

#9 03. 01. 2013 11:19 — Editoval Rumburak (03. 01. 2013 11:19)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: průběh fce s parametrem

↑ simcilka:
Mně vyšlo, že druhá derivace mění znaménlo v bodě $x = \frac{a}{2}$ , napravo je záporná a nalevo kladná.
Mohl jsem se přepočítat, ale Tvůj výsledek, že funkce je konkávní na celém $D(f)$, je na první pohled nesprávný.
Zkus si nakreslit funkci, která je na omezeném intervalu klesající, konkávní a v levém krajním bodě jde zprava do $+\infty$.
Určitě se Ti to nepodaří.

Offline

 

#10 03. 01. 2013 21:20

simcilka
Příspěvky: 184
Reputace:   
 

Re: průběh fce s parametrem

furt, mi to nevychazi, ale zkusim se na to jestě podívat a doufam ze se dopocitam k spravnemu vysledku, každopadne dekuji za pomoc;-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson