Matematické Fórum

simcilka · 28. 12. 2012 12:31

Ahoj, nemám dotaz spíš bych potřebovala poradit, jestli nevíte kde se dají sehnat nejlépe řešené příklady na průběh funkci s parametrem? hledala jsem na internetu i v učebnicích, ale nikde jsem nic nenašla. děkuji předem;-)

simcilka · 28. 12. 2012 13:00

Mám třeba zadaný příklad $f(x)=\frac{x^{2}+c}{x^{2}-c}$ , kde $c\in \mathbb{R}$ rozdělila jsem to na c<0, c=0 a c>0 a pocítala jsem to pro každý případ zvlášť, ale nevím jak korektně zapsat když c=0 protože to mi vyjde konstantní fce kt. má definicni obor $\mathbb{R}-\{0\}$ , ale jak mám napsat derivace a tak???

Rumburak · 28. 12. 2012 13:31

Ahoj.

O literatuře na dané tema nic nevím, ale zkusím poradit s tím konkretním dotazem, pokud jsem ho pochopil správně.

Je vhodné upravit funkci na co nejpříhodnější tvar, zde

$f(x)=\frac{x^{2}+c}{x^{2}-c} = \frac{x^{2} - c + 2c}{x^{2}-c} = 1 + \frac{2c}{x^{2}-c}$ ,

takže

$f'(x)=$1 + \frac{2c}{x^{2}-c}$' = 2c $\frac{1}{x^{2}-c}$' = ...$ ,

odtud je vidět , že pro $c = 0$ a přípustná $x$ je $f'(x) = 0$ , což v souladu s faktem, že jde o konstantní funkci.

simcilka · 01. 01. 2013 19:42

jj, děkuji, tak jsem to tak napsala, ale nebyla jsem si jistá jestli je to korektní zápis. Mohla bych ještě konzultovat jeden příklad na vyšetřění průběhu fce s paramterem?
zadaní $f(x)=\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$ , kde a je parametr $a\ge 0$
moje řešení: pro $a=0$ by vyšla odmocnina ze záporného čísla, takže tato fce na reálných číslech není definovana
pro $a>0$ musí být splněna podmínka, že $\frac{a-x}{a+x}\ge 0$ a to je bud $-x\ge x, kde a>-x$ nebo $-x\le x, kde a<-x$ no a ted nevím jak to mám řešit dál, protože nevím jak zapsat definiční obor, a podle mých výpočtů limita v nekonečnu neexistuje,.. pomužete prosím? děkuji

Rumburak

↑ simcilka:

Začal bych základním předpokladem

(1) $x + a \ne 0$ ,

aby měl smysl ten zlomek.

Pro $a>0$ vynásobíme nerovnost $\frac{a-x}{a+x}\ge 0$ vvýrazem $(a + x)^2$ , který je dle (1) větší než 0, a tím dostaneme
$(a-x)(a+x)\ge 0$ , $a^2 - x^2 \ge 0$ , $|x| \le a$ , $x \in (-a, a]$ (opět použito (1)).

Definičním oborem funkce $f(x)=\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}$ pro $a>0$ je tedy interval $(-a, a]$ .

simcilka · 02. 01. 2013 15:48

↑ Rumburak:

dekuji, ja jsem se nakonec k tomuto taky dopočítala pres tohle $\frac{a-x}{a+x}\ge 0$ a rozkladala jsem si to, protoze jsem nechtela spekulovat nad tim co je vetsi nebo mensi nez nula.
ten napad vynasobit to $(a + x)^2$ by me nenapadlo, děkuji to jsme si už poznačila a mohu jeste pozadat o kontrolu, konce?
$\lim_{x \to -a}$ je nekonecno, $\lim_{x \to a}$ je nula, derivace = $\frac{-a}{\sqrt{(a+x)^3(a-x)}}$ , takze def obor derivace je (-a,a) a stacionarni bod je a. a ted nevim jak mam napsat kde je fce rostouci a klesajici, vyslo mi, ze pro menzi nez a bude klesajici a pro vetsi rostouci a ze v a je lokalni min? je to spravne? a dale jsem jeste pocitala $\lim_{x\to a}$ zprava zleva derivace a to mi vyšlo že neex.
dekuji

Rumburak · 02. 01. 2013 16:42

↑ simcilka:

Pozor na to, že limity v krajních bodech intervalu, který je definičním oborem funkce, nutno uvažovat pouze jako jednostranné.
Jejich hodnoty máš správně.

Derivace mi vyla také tak. Avšak pro $a>0$ má všude zápornou hodnotu (stacionární bod funkce $f$ , v němž by měla
její derivace hodnotu 0, tedy neexistuje).

Výsledek $f'(x) < 0$ v $(-a, a)$ znamená, že funkce $f$ je v tomto intervalu klesající. V bodě $a$ je spojitá zleva,
proto z předchozího vyplývá, že v tomto bodě nabývá svého jediného lokálního (a zároveň absolutního) minima.
Jiných extrémů na svém def. oboru nemá.

Odpovídající jedostranné limity derivace v krajních bodech existují, ale jsou nevlastní (v obou případech $-\infty$ ).

simcilka · 02. 01. 2013 21:02

↑ Rumburak:

děkuji již jsem si to opravila;-) dále mi vyšlo že je konkávní na D(f) a obor hodnot je (0, nekonecno)

Rumburak

↑ simcilka:
Mně vyšlo, že druhá derivace mění znaménlo v bodě $x = \frac{a}{2}$ , napravo je záporná a nalevo kladná.
Mohl jsem se přepočítat, ale Tvůj výsledek, že funkce je konkávní na celém $D(f)$ , je na první pohled nesprávný.
Zkus si nakreslit funkci, která je na omezeném intervalu klesající, konkávní a v levém krajním bodě jde zprava do $+\infty$ .
Určitě se Ti to nepodaří.

simcilka · 03. 01. 2013 21:20

furt, mi to nevychazi, ale zkusim se na to jestě podívat a doufam ze se dopocitam k spravnemu vysledku, každopadne dekuji za pomoc;-)

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2012 12:31

průběh fce s parametrem

#2 28. 12. 2012 13:00

Re: průběh fce s parametrem

#3 28. 12. 2012 13:31

Re: průběh fce s parametrem

#4 01. 01. 2013 19:42

Re: průběh fce s parametrem

#5 02. 01. 2013 09:37 — Editoval Rumburak (02. 01. 2013 09:42)

Re: průběh fce s parametrem

#6 02. 01. 2013 15:48

Re: průběh fce s parametrem

#7 02. 01. 2013 16:42

Re: průběh fce s parametrem

#8 02. 01. 2013 21:02

Re: průběh fce s parametrem

#9 03. 01. 2013 11:19 — Editoval Rumburak (03. 01. 2013 11:19)

Re: průběh fce s parametrem

#10 03. 01. 2013 21:20

Re: průběh fce s parametrem

Zápatí