Matematické Fórum

PanTau · 01. 01. 2013 14:24

Ahoj, dostal jsem se asi k nejtěžší látce co se učím na opravky,

Prosím o pomoc jak na tento příklad.

Mám vypočítat limitu? Nebo co vůbec s tím?

Střelil bych to od oka, ale to prý nestačí :D :-)

Díky za rady.

Tomas.P

↑ PanTau:
1. úprava výrazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{[2(n+1)]!}{[(n+1)!]^2}{\cdot}\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{[(2n+2)(2n+1)(2n)!]}{[(n+1)(n)!]^2}{\cdot}\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{2(2n+1)}{n+1}$
2. odtud $L=\lim_{n{\to}\infty}\frac{4n+2}{n+1}=\lim_{n{\to}\infty}\frac{n(4+\frac{2}{n})}{n(1+\frac{1}{n})}=4$
3. podle limitního podílového kritéria platí: pokud $L>1$ , tak řada diverguje.

PanTau · 02. 01. 2013 09:42

↑ Tomas.P:
Děkuji za tvou pohotovou odpověď.

Je mi to jasné, mohl bys mi prosím ještě ukázkově rozepsat tento příklad? Ostatní co budu počítat jsou podobné (ať se mám čeho držet) - díky

(nemusí být komentáře)

Rumburak · 02. 01. 2013 10:13

↑ PanTau:
Ahoj. Neboj se zkusit to sám. I zde je to lehké a jeden vzorový příklad už máš.

PanTau · 02. 01. 2013 10:26

Rumburak napsal(a):
↑ PanTau:
Ahoj. Neboj se zkusit to sám. I zde je to lehké a jeden vzorový příklad už máš.

Kdybys napsal triviální, byl bys jako náš profesor.

Dostal jsem se jen k:

$\frac{2^{n}(2n^{3}+2)}{(n+1)n!}$

a již nevím co dál /

Tomas.P

↑ PanTau:
Dostal jsem se k $\frac{2\[$n+1$^3+1\]}{(n+2)(n^3+1)}=\frac{n(2n+2)+2}{(n^3+1)}$ (viz. Alternate forms).

jarrro · 02. 01. 2013 10:51 — Editoval jarrro (02. 01. 2013 10:53)

najprv napíš podiel potom ho uprav a počítaj limitu
$\frac{\qquad\frac{2^{n+2}$\(n+1$^3+1\)}{$n+2$!}\qquad}{\qquad\frac{2^{n+1}$n^3+1$}{$n+1$!}\qquad}=\frac{\qquad\frac{2$\(n+1$^3+1\)}{$n+2$!}\qquad}{\qquad\frac{n^3+1}{$n+1$!}\qquad}=\nl =\frac{2$\(n+1$^3+1\)}{$n+2$$n^3+1$}=\frac{2$n^3+3n^2+3n+2$}{$n+2$$n^3+1$}=\frac{2$n^2+n+1$}{n^3+1}$

PanTau · 02. 01. 2013 10:57

Oh, to je strašně náročne O_o, snad to nějak zvládnu, více méně jsem to pochopil, ale nenapadají mě hned ty matematické upravy.

(mám matiku jen v prvním semestru) ffffffff :-)

Díky za rady a Váš čas.

Rumburak · 02. 01. 2013 10:58

↑ PanTau:
Chtěl jsem napsat "triviální". :-)

Neznám podrobnosti Tvého výpočtu, ale zřejmě tam máš nějakou chybu.

Když obecný člen řady je $a_n := \frac{2^{n+1}(n^{3}+1)}{(n+1) !}$ , potom $a_{n+1} = \frac{2^{n+2}((n+1)^{3}+1)}{(n+2) !}$ , takže

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+2}((n+1)^{3}+1)}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}(n^{3}+1)}= 2\cdot \frac{1}{n+2}\cdot \frac{(n+1)^{3}+1}{n^{3}+1}$

a zbývá jen spočítat z toho limitiu pro $n \to \infty$ .

PanTau · 02. 01. 2013 11:06

↑ Rumburak:
Spiš určitě než zřejmě, nevěděl jsem například že mám počítat an+1, a počítal jsem pouze an...

Teď co jste mi to vysvětlili je mi to jasné, teď to musím jen na trénovat :-)

Díky

Rumburak · 02. 01. 2013 11:07

Dodám ještě k výpočtu té limity.

$\frac{(n+1)^{3}+1}{n^{3}+1} = \frac {$1 +\frac{1}{n}$^3 + $\frac{1}{n}$^3}{1 + $\frac{1}{n}$^3}$ , $\frac{1}{n} \to 0$ .

PanTau · 02. 01. 2013 11:15

↑ Rumburak:

Tj. Konverguje :-)

Díky

PanTau · 02. 01. 2013 12:17

TECHNICKÝ DOTAZ:

$\frac{\qquad\frac{2^{n+2}$\(n+1$^3+1\)}{$n+2$!}\qquad}{\qquad\frac{2^{n+1}$n^3+1$}{$n+1$!}\qquad}=\frac{\qquad\frac{2$\(n+1$^3+1\)}{$n+2$!}\qquad}{\qquad\frac{n^3+1}{$n+1$!}\qquad}=\nl =\frac{2$\(n+1$^3+1\)}{$n+2$$n^3+1$}=\frac{2$n^3+3n^2+3n+2$}{$n+2$$n^3+1$}=\frac{2$n^2+n+1$}{n^3+1}$

Má být po každé závorce napsáno $lim$ ?

Za to nám odečítají body (žádné nedávají!)

jarrro · 02. 01. 2013 13:00 — Editoval jarrro (02. 01. 2013 13:01)

buď všade alebo nikde určite nepíš napr.
$\lim_{n\to\infty}{\frac{\qquad\frac{2^{n+2}$\(n+1$^3+1\)}{$n+2$!}\qquad}{\qquad\frac{2^{n+1}$n^3+1$}{$n+1$!}\qquad}}=\frac{2$n^2+n+1$}{n^3+1}$
alebo
$\frac{2$n^2+n+1$}{n^3+1}=0$
lebo to nie je pravda.
môžeš ale niekde vedľa napísať všetky úpravy bez limity a potom písať nezávisle na tých pomocných výpočtoch
$\lim_{n\to\infty}{\frac{\qquad\frac{2^{n+2}$\(n+1$^3+1\)}{$n+2$!}\qquad}{\qquad\frac{2^{n+1}$n^3+1$}{$n+1$!}\qquad}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{2$n^2+n+1$}{n^3+1}}$

PanTau · 02. 01. 2013 13:23

↑ jarrro:
Díky, zkoušel jsem vypočítat následující příklad:

$\frac{3^{n+1}((n+1)!)^{2}}{(2n+2)!}*\frac{(2n+1)!}{3^{n}(n!)^{2}}$

$= \frac{3(n+1)^2}{(2n+2)}$

$=\frac{ 3 (n+1)}{2}$

Nechápu proč mi nevyšel, mohl by ses podívat, kde jsem udělal chybu?

jarrro · 02. 01. 2013 13:32

$\frac{3^{n+1}((n+1)!)^{2}}{(2n+\color{red}3\color{black})!}\cdot\frac{(2n+1)!}{3^{n}(n!)^{2}}$

PanTau · 02. 01. 2013 13:35

jarrro napsal(a):
$\frac{3^{n+1}((n+1)!)^{2}}{(2n+\color{red}3\color{black})!}\cdot\frac{(2n+1)!}{3^{n}(n!)^{2}}$

Jakto k čeru, však přičitám jedničku? Tak 2 a né 3?

Tomas.P · 02. 01. 2013 14:56

↑ PanTau:
Je to proto, protože n musí být "osamocené" (týká se faktoriálů), tak musíš upravit závorku vytknutím 2.

Rumburak · 02. 01. 2013 15:24

↑ PanTau:

Jinými slovy : jedničku jsi měl přičíst k $n$ , proto tam mělo být $2(n+1) +1$ , což je po úpravě $2n +3$ .

nERv · 02. 01. 2013 16:19

$\lim_{n\to\infty }\frac{3^{n+1}((n+1)!)^{2}}{(2n+\color{red}3\color{black})!}\cdot\frac{(2n+1)!}{3^{n}(n!)^{2}}=$ mne táto limita vychádza takto:
$\lim_{n\to\infty }\frac{3n+3}{(2n+3)(2n+2)}=\lim_{n\to\infty }\frac{3n+3}{4n^2+10n+6}=\lim_{n\to\infty }\frac{n*(3+\frac{3}{n})}{n^2(4+\frac{10}{n}+\frac{6}{n^2})}=\frac{3}{\infty }=0$ čo robím zle keď mi to nevychádza? ďakujem

Tomas.P · 02. 01. 2013 16:47

↑ nERv:
V čitateli má být $3(n+1)^{\textbf{2}}$ .

Rumburak · 02. 01. 2013 16:53

$\frac{3^{n+1}((n+1)!)^{2}}{(2n+3)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{3^{n}(n!)^{2}}=\frac{3(n+1)^{\color{red}2\color{black}}}{(2n+3)(2n+2)}$ .

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2013 14:24

Konvergentní či divergentní d'Alembert

#2 01. 01. 2013 20:07 — Editoval Tomas.P (01. 01. 2013 20:40)

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#3 02. 01. 2013 09:42

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#4 02. 01. 2013 10:13

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#5 02. 01. 2013 10:26

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

Rumburak napsal(a):

#6 02. 01. 2013 10:43 — Editoval Tomas.P (02. 01. 2013 10:43)

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#7 02. 01. 2013 10:51 — Editoval jarrro (02. 01. 2013 10:53)

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#8 02. 01. 2013 10:57

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#9 02. 01. 2013 10:58

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#10 02. 01. 2013 11:06

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#11 02. 01. 2013 11:07

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#12 02. 01. 2013 11:15

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#13 02. 01. 2013 12:17

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#14 02. 01. 2013 13:00 — Editoval jarrro (02. 01. 2013 13:01)

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#15 02. 01. 2013 13:23

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#16 02. 01. 2013 13:32

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#17 02. 01. 2013 13:35

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

jarrro napsal(a):

#18 02. 01. 2013 14:56

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#19 02. 01. 2013 15:24

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#20 02. 01. 2013 16:19

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#21 02. 01. 2013 16:47

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

#22 02. 01. 2013 16:53

Re: Konvergentní či divergentní d'Alembert

Zápatí