Matematické Fórum

APavlat

Dobrý den,
nedaří se mi jedna limita, asi neznalostí hyperbolických fcí.

$\lim_{x\to0}(1+\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1})^{\frac{1}{\sinh(\frac{\sin^{2}x}{x})}}$

upravim si na:

$\mathrm{e}^{\lim_{x\to0}{\frac{1}{\sinh(\frac{\sin^{2}x}{x})}}\cdot \ln (1+\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1})}$
$\lim_{x\to0}{\frac{\ln (1+\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1})}{\sinh(\frac{\sin^{2}x}{x})}}\cdot \frac{\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1}}{\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1}} =\frac{\ln (1+\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1})}{\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1}}\cdot \frac{\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1}}{\sinh(\frac{\sin^{2}x}{x})}$

první zlomek roven jedné, s tím druhým nevím, co dělat... má vyjít $e^{1/2}$ . Díky za odpovědi.

RE.: Vážně si muim rozepisovat tu hyperbolickou fci na exponenciály?...

Indie · 12. 01. 2013 13:51

Ja by som to upravila takto: $\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1}}{\sinh(\frac{\sin^{2}x}{x})}$ = $\lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin x}{\cos^{2} x +1}}{\sinh(\frac{\sin x\cdot \sin x}{x})}$

$\frac{\sin x}{x}$ ide do 1.

V menovateli ostane :
$\sinh(\sin x)$

Podobne ako pri funkcii sin platí:

$\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x}=1$

Po úprave zlomku :

$\lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} x +1}}{\frac{\sinh x(sin x)}{sin x}}$

Zvyšok určite vieš, dúfam, že to mám dobre.

jardofpr · 12. 01. 2013 14:01

↑ APavlat:

dá sa aj $\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2{x}}{x}=0$ a vďaka $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh{x}}{x}=1$

dostať druhý zlomok rozšírením do tvaru $1\cdot \frac{x}{\sin{x}}\cdot \frac{1}{1+\cos^2{x}}$

APavlat · 12. 01. 2013 14:19

Jo ok, díky vám. :)

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2013 12:44 — Editoval APavlat (12. 01. 2013 13:12)

limita

#2 12. 01. 2013 13:51

Re: limita

#3 12. 01. 2013 14:01

Re: limita

#4 12. 01. 2013 14:19

Re: limita

Zápatí