Matematické Fórum

Marian · 31. 12. 2008 15:12 — Editoval Marian (31. 12. 2008 15:12)

Našel jsem v knize
Ronald S. Irving, Integers, Polynomials, and Rings. Springer, 2003
návod, jak dokázat malou Fermatovu větu. Přístup byl docela jednoduchý a tento důkaz jsem neviděl (asi algebru příliš nenávidím). Opíši ve stručnosti body, které vedou k důkazu tohoto tvrzení. Kdo si chce udělat drobnosti v tomto důkaze, má možnost. Kdo má nejasnosti, ať je prezentuje taktéž zde.

Předpokládejme, že p je prvočíslo.
1. Dokažte, že pro libovolné celé číslo $r\in\mathbb{Z}$ , $1\le r\le p-1$ , platí, že prvočíslo p dělí binomický koeficient ${ p\choose r}$ .

2. Dokažte na základě binomické věty a předchozího tvrzení, že v okruhu $(\mathbb{Z}_p,+,\cdot )$ platí pro prvočíslo p identita
$(x+y)^p=x^p+y^p,\qquad x\in\mathbb{Z}, \qquad y\in\mathbb{Z}.$

3. Poku budou elementy $[a]$ a $[b]$ zna4it prvky okruhu $(\mathbb{Z}_p,+,\cdot )$ , pak z předchozího tvrzení vyvoďte platnost identity
$([a]+[b])^p=[a]^p+[b]^p.$

4. Aplikujte tuto formuli na prvek $([a]+[1])^p$ , kde $0\le a\le p-1$ a dokažte tak, že pro liobovolné $[a]\in\mathbb{Z}_p$ platí
$[a]^p=[a].$

5. Odtud odvoďte pro $[a]\neq [0]$ malou Fermatovu větu, tedy identitu
$[a]^{p-1}=[1].$

Kondr · 05. 01. 2009 14:30

Připojím taky jeden "důkaz".

1) Nechť $p$ je prvočíslo, $a$ celé číslo. Uvažme všechny náhrdelníky, které lze vytvořit z $p$ kamenů, máme-li k dispozici neomezený počet kamenů od každého z $a$ různých druhů.

2) Vyjádříme počet takových náhrdelníků v závislosti na $a$ a $p$ a konstatujeme, že výsledek je celé číslo.

Jinak malá Fermatova věta je speciální případ tvrzení, že řád prvku dělí řád grupy.

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2008 15:12 — Editoval Marian (31. 12. 2008 15:12)

Fermatova věta

#2 05. 01. 2009 14:30

Re: Fermatova věta