Matematické Fórum

mark72 · 03. 02. 2013 12:28

Zdravím, mohl by mi někdo pomoci vyřešit tento zapeklitý příklad?

Napište rovnici kružnice vepsané trojúhelníku KLM, je-li $K[2,1], L[6,4], M[6,1]$

Došla jsem k tomu, že poloměr kružnice je jedna a že trojúhelník má pravý úhel u vrcholu M, jen nevím, jak dopočítat souřadnice středu (m,n). Děkuji všem za pomoc.

Výsledek: $k: (x-5)^{2}+(y-2)^{2}=1$

Arabela · 03. 02. 2013 12:45

Ahoj ↑ mark72:,
ja by som na výpočet súradníc m, n stredu S použila vzorec pre vzdialenosť bodu od priamky v rovine.
Bod S je od priamky KM vzdialený o jedna, zo vzorca pre vzdialenosť potom vyjde
$|n-1|=1$ ,
odtiaľ n=0 alebo n=2, a keďže S leží v polrovine KML, je jednoznačne n=2.
Obdobne pre vzdialenosť bodu S od priamky LM.
Vyjde $|m-6|=1$ ,
odtiaľ m=5 alebo m=7, a opäť vzhľadom na polroviny m=5.

thatsmis · 12. 05. 2016 14:57

↑ mark72: mohla by si mi prosím poradiť ako si prišla na polomer ? S týmto príkladom mám problém aj ja a netuším ako naň.

Jj · 12. 05. 2016 15:22

↑ thatsmis:

Vzorec pro výpočet poloměru kružnice vepsané trojúhelníku viz Odkaz

thatsmis · 12. 05. 2016 15:45

↑ Jj:už som celkom domýlená. Vedela som si vpočítať, že trojuholník je pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole M. Taktiež som si našla dve osi uhla pri vrchole M, ktoré mi vyšli o1: x-y-5=0 a o2: x+y-7=0. Ďalej som si našla osi uhla pri vrchole K, ktoré mi vyšli o1: x-3y+1=0 a o2: 3x+y-7=0. Spravila som ich prienik, ale bohužial súradnice stredu nevychádzajú tak ako majú. Neviete mi prosím poradiť, ako z tohto ďalej ?

gadgetka

Ahoj, dalo by se to řešit i přes osu úhlu. Osa úhlu je určena vrcholem a směrovým vektorem.
Osa úhlu je vlastně „průměr směrů obou ramen“, tzn., že určíme jednotkové vektory $\vec{u}, \vec{v}$ ramen (svírající daný úhel) a směrový vektor osy úhlu je pak součtem jednotkových vektorů ( $\vec{w}$ ).

$\vec{MK}=K-M=(-4; 0)\Rightarrow \vec{u}=(-1,0)$
$|\vec{MK}|=4$
$\vec{ML}=L-M=(0; 3)\Rightarrow \vec{v}=(0,1)$
$|\vec{ML}|=3$

$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(-1; 1)=\vec{s}_o_1\Rightarrow \vec{n}=(1; 1)$
$o_1:\enspace x+y+c=0\enspace \wedge M\in o_1: \enspace 6+1+c=0\Rightarrow c=-7$
$o_1:\enspace x+y-7=0$

$\vec{KM}=M-K=(4; 0)\Rightarrow \vec{u}=(1; 0)$
$|\vec{KM}|=4$
$\vec{KL}=L-K=(4; 3)\Rightarrow \vec{v}=$\frac 45; \frac 35$$
$|\vec{KL}|=5$

$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(\frac 95; \frac 35)=\vec{s}_o_1\Rightarrow \vec{n}=(\frac 35; -\frac 95)$
$o_2:\enspace \frac 35 x-\frac 95 y+c=0\enspace \wedge K\in o_2: \enspace \frac 65-\frac 95+c=0\Rightarrow c=\frac 35$
$o_2:\enspace \frac 35x-\frac 95y+\frac 35=0$
$o_2: \enspace x-3y+1=0$

Průsečík os = střed kružnice opsané:
$x+y-7=0$
$x-3y+1=0$
----------------
$4y-8=0\Rightarrow y=2$
$x=5$
$S[5; 2]$

Poloměr: vzdálenost středu od (např.) strany KM
$KM: y+c=0\wedge K\in KM: \enspace 1+c=0\Rightarrow c=-1$
$KM: y-1=0$
$v(S, KM)=\frac{|0+2-1|}{1}=1\Rightarrow r=1$

Jj · 12. 05. 2016 20:49

↑ thatsmis:

Jistě, jde to přes osy úhlů, ale pro menší trápení se přimlouvám spočítat poloměr vepsané kružnice přes plochu daného trojúhelníka vyjádřenou jednak pomocí odvěsen, jednak pomocí uvedeného poloměru (což odpovídá vzorečku v odkazu tady ↑ Jj:):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cheop · 13. 05. 2016 07:24 — Editoval Cheop (13. 05. 2016 07:24)

↑ thatsmis:
Všechny 3 osy úhlu mají rovnice:
$x-3y+1=0\\x+y-7=0\\2x-y-8=0$
Z toho střed kružnice
$S=(5;2)$
poloměr je vzdálenost středu od přímky
$y=1$ tj.
$r=1$