Matematické Fórum

Honza90 · 10. 02. 2013 10:44

Dobrý den. Potřebuji poradit, jak korektně dokázat toto tvrzení: Dokažte, že v konečné grupě sudého(lichého) řádu je počet prvků řádu 2 lichý(sudý). Díky.

martisek · 10. 02. 2013 13:17

Uvažoval bych asi takto:

Řád konečné grupy je počet jejich prvků. Ke každému prvku musí existovat inverzní. Prvek a je řádu dvě právě tehdy, když a^2=e, tj. když je sám sobě prvkem invezním, tj. grupa může mít libovolný počet prvků 2. řádu. Prvek lichého řádu není k sobě inverzní, musí "generuje" dva různé prvky lichého řádu – sám sebe + svoji inverzi. Neutrální prvek je vždy řádu jedna (tj. lichého)...

A pokud bych to chtěl mít zcela dogmaticky, asi bych na to šel indukcí:

n=1: Triviální grupa je řádu jedna a má jeden prvek lichého řádu a nula prvků sudého. Věta platí...

Andrejka3

Počet prvků řádu 1 je kolik?
Proveďme rozklad grupy na třídy podle řádu prvku: třeba R_n označme všechny prvky grupy řádu n (pro taková n, aby R_n byla neprazdna).
n=2: kazdy prvek řádu dva generuje dvouprvkovou podgrupu, ve které je ten prvek sám (je svou inverzí) a neutrální prvek.
n>2: na G_n je operace inverze bijekcí G_n do G_n, tedy permutaci. Nemuze mit tato permutace pevny bod (proc?). Kazdy cyklus teto permutace ma delku ... (ted nevim, jak se presne definuje delka cyklu permutace, ale chci rict, ze inverze inverze je identita).
Takze G_n muzes rozlozit na cykly delky dva. Je tedy |G_n| sude.

Edit: Tak jsme se tu hezky sešli. Zdravím ↑ martisek:, ↑ Brano:.

Brano · 10. 02. 2013 13:21

Skúsiť to dokázať po krokoch.
1. Ak $x$ má rád $k$ potom aj $x^{-1}$ má rád $k$ .
2. Ak $x^{-1}=x$ tak $x=1$ alebo $x$ má rád $2$ .
3. Prvkov s rádom $>2$ je párny počet a teda prvkov s rádom $2$ je toľko koľko treba podľa zadanie.