Matematické Fórum

Marian · 05. 01. 2009 17:53

Nechť
$x_n:=\frac{\left (17+12\sqrt{2}\right )^n-\left (17-12\sqrt{2}\right )^n}{4\sqrt{2}},\qquad n\in\mathbb{N}.$
Dokažte, že $x_n\in\mathbb{N}$ , ale $x_n$ není druhou mocninou žádného přirozeného čísla.

halogan · 01. 02. 2009 00:19

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 01. 02. 2009 22:18

↑ halogan:
Dám nějaké nápovědy během tohoto týdne k této úloze. Nadpis jsem zvolil špatně (slovíčko perfect má být nahrazeno jiným - to je jasné).

musixx · 02. 02. 2009 15:38 — Editoval musixx (02. 02. 2009 15:47)

Ja mam zatim tohle:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek

První půlka řešení Zobrazit/skrýt!

musixx · 19. 02. 2009 13:54 — Editoval musixx (19. 02. 2009 13:54)

↑ musixx: Naprosto nevinny prispevek zde me privedl na $(17\pm12\sqrt2)=(3\pm2\sqrt2)^2$ , coz rozsiruje mnozinu cisel, pro ktera jsem ukazal, ze nejde o ctverec v celych cislech (ukazal jsem to uz pro licha n). Kdyz s tim pro suda n udelam totez, jako jsem delal vyse (jen modulo 9), dostanu, ze cislo neni druhou mocninou ani pro n nedelitelne 6.

Zbyva tedy ukazat, ze nejde o druhou mocninu v pripade, ze 6|n.

Pavel Brožek · 19. 02. 2009 14:25

↑ musixx:

Pokud si dobře pamatuji, tak když jsem to řešil přes to rekurentní zadání, tak jsem se dostal i k mnohem vyšším číslům než 6 - stačilo mi zkoumat čísla n taková, že 257991459264000|n a asi by nebyl žádný problém toto číslo zvyšovat. Ale nebyl jsem schopen dokázat, že to jde do nekonečna. Pokud by tě to zajímalo, zkusim si vzpomenout/vyčíst z poznámek, jak jsem k tomu dospěl.

Marian · 20. 02. 2009 15:40

↑ musixx:↑ BrozekP:
Velmi se omlouvám, že jsem nesplnil to, co jsem prohlásil výše, tj. že dám nápovědu. Vidím, že nějaké nápad tady už jsou. Jen bych chtěl popostrčit musixx k ještě dalšímu zjednodušení. Totiž i číslo $3\pm 2\sqrt{2}$ se dá zapsat jako "čtverec" ve tvaru $a+b\sqrt{2}$ , $(a,b)\in\mathbb{Z}$ .