Matematické Fórum

luscinka1 · 31. 03. 2013 11:37

Zadání zní: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímky p=CE od roviny $\varrho$ =BDM, kde bod M je střed hrany CG. To je poslední příklad kterej nevím...V těch roviinách to moc nevidím. Prosím o pomoc, jestli víte.

Honza90 · 31. 03. 2013 12:27

↑ luscinka1:
zkus vypočítat úhel pomocí vzorečku $\cos \alpha =\frac{|u\cdot v|}{|u|\cdot |v|}$ . za $\vec{u}$ si dosaď vektor, který určuje přímku CE a $\vec{v}$ bude vektor ležící v rovině BDM, který leží s vektorem $\vec{u}$ v jedné rovině.

luscinka1 · 31. 03. 2013 12:29

No takto sem to dělala, ale tuto úlohu máme řešit pomocí znalostí o geometrii a podobně. Toto jsem měla a učitelka, že to nelze. Máme to vyřešit graficky a početně. A to početně pomocí znalostí co víme. Jako cosinové věty, hledání pravoúhlého trojuhelníku a tak :/

Honza90 · 31. 03. 2013 13:02

↑ luscinka1:
taky to tak jde, ale není to teda jednodušší. musíš najít průsečík té přímky a roviny a najít, kde v jeho blízkosti svírají rovnoramenný trojúhelník. Napovím, že výška toho průsečíku je 1/4 délky strany krychle.

luscinka1 · 31. 03. 2013 15:25

Furt nevím:/

Arabela · 31. 03. 2013 15:30

Ahoj ↑ luscinka1:,
výsledok má byť $70^\circ 31'44''$ ?

luscinka1 · 31. 03. 2013 15:34

Jo má to vyjít takto :)

Honza90

použijeme analytickou geometrii. osa x vede body A,C, osa y vede body E,A. Délka hrany krychle je 1, délka úhlopříčky je $\sqrt{2}$ . Rovnice přímky má tvar $y=kx+q$ , určíme rovnici té přímky EC dosazením bodů:
$0=k\cdot \sqrt{2} +q$
$1=k\cdot 0+q$
z toho plyne:
$k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$q=1$
rovnice přímky EC je tedy $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+1$
Nyní určíme rovnici přímky představující rovinu BDM:
$\frac{1}{2}=k\cdot \sqrt{2} +q$ bod x= $\sqrt{2}$ , y= $\frac{1}{2}$ je bod M, kde rovina protíná hranu krychle
$0=k\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} +q$ bod x= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , y=0 je místo, kde rovina protíná spodní stěnu krychle
rovnice přímky ležící v rovině BDM, která svírá s přímkou EC hledaný úhel je:
$k=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $q=-\frac{1}{2}$
$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{1}{2}$
Mimochodem je teď vidět, že sklon přímek je stejný.
Průsečík přimek určíme, tak, že je položíme do rovnosti:
$-\frac{\sqrt{2}}{2}x+1=\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{1}{2}$
$\frac{3}{2}=\sqrt{2}x$
$x=\frac{3\sqrt{2}}{4}$
y-ovou souřadnici průsečíku určíme dosazením za x do libovolné rovnice:
$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
průsečík $P=[\frac{3\sqrt{2}}{4},\frac{1}{4}]$ a body C a M tvoří rovnoramenný trojúhelník, ve kterém se dá použít pythagorova věta nebo kosinová věta.

Je to takhle lepší, než přes skalární součin? :D

Arabela

↑ luscinka1:
ja som to riešila nasledovne. Predstav si rovinu ACG (uhlopriečnu rovinu, ktorá rozdelí kocku na dve rovnaké časti). Táto rovina obsahuje priamku EC a "reže" rovinu DBM v priamke S'M, kde S' je stred stenovej uhlopriečky DB. S'M je kolmým priemetom priamky EC do roviny DBM, a teda uhol priamky EC s rovinou DBM je vlastne uhol priamky EC s priamkou S'M. Priesečník týchto dvoch priamok si označme P. Uvažujme ešte stred S telesovej uhlopriečky EC (stred kocky). Máme vypočítať veľkosť uhla S'PS = $\varphi$ . Vypočítame ju nepriamo, pomocou veľkosti uhla $\varepsilon$ pri základni rovnoramenného trojuholníka SS'P.
Uhol S'SP = uhol S'SCa jeho veľkosť ľahko vypočítame pomocou funkcie tangens ( $|S'S|=\frac{a}{2}, |S'C|=a\frac{\sqrt{2}}{2}$ )
$\text{tg}\varepsilon =\sqrt{2}$
$\varepsilon \doteq 54,73561^\circ$
Podobne odvodíme veľkosť druhého uhla pri základni.
Hľadaný uhol
$\varphi =180^\circ -2\varepsilon \doteq 70,52877937^\circ$