Matematické Fórum

jarrro · 01. 04. 2013 17:42 — Editoval jarrro (02. 04. 2013 10:37)

ahoj napadla ma otázka či môže na reálnych číslach existovať postupnosť množinových systémov kardinality $2^{c}$ (prípadne nekonečnou ak by to bolo príliš obmedzujúce), ktorá je ostro rastúca v zmysle inklúzie a platí
$\mathcal{A}_0\text{ je }\sigma\text{ algebra}\nl\mathcal{A}_{1}=\tau{$\mathcal{A}_0$}\nl\mathcal{A}_2=\sigma{$\mathcal{A}_1$}\nl\vdots\nl\mathcal{A}_{n+1}=\begin{cases}\tau{$\mathcal{A}_n$} & n\text{ párne}\\\sigma{$\mathcal{A}_n$} & n\text{ nepárne}\end{cases}\nl\bigcup_{n=0}^{\infty}{\mathcal{A}_n}\neq P{$\mathbb{R}$}$
$\tau$ resp. $\sigma$ je najmenšia topológia resp. najmenšia sigma-algebra obsahujúca argument
prípadne ešte otázka či by sa zmenila odpoveď keby sa úlohy $\tau$ a $\sigma$ vymenili teda začalo by sa topológiou a pokračovalo sigma-algebrou, teda by sa vymenila párnosť a nepárnosť n v príslušnej rekurzívnej definícii

Brano · 01. 04. 2013 17:57 — Editoval Brano (01. 04. 2013 18:09)

Len kratke pozorovanie - akonahle je jedna z tych topologii $T_1$ potom z nej vyrobena $\sigma-$ algebra obsahuje jednoprvkove mnoziny a z nej vyrobena topologia obsahuje vsetky mnoziny.
A tiez ze z $T_0$ topologie po dvoch krokoch vyrobis $T_1$ topologiu.

A urcite sa odpoved nezmeni ak zacnes topologiou, lebo ked mas postupnost zacinajucu $A_0$ tak mozes zacat od $A_1$ , nech uz $A_0$ bola topologia ci sigma algebra.

jarrro · 01. 04. 2013 18:07 — Editoval jarrro (01. 04. 2013 18:09)

↑ Brano:díky ak $T_1$ znamená topológia obsahujúca všetky intervaly tak o tom viem presne tak začalo moje uvažovanie nad danou otázkou.
aha asi to bude topológia spĺňajúca určité oddeľovacie axiómy tak o tom som neuvažoval díky za postreh

Brano · 01. 04. 2013 18:15 — Editoval Brano (01. 04. 2013 18:18)

$T_1$ znamena, ze pre lubovolne $x,y$ existuje otvorena $U$ taka, ze $x\in U$ a $y\not\in U$ - resp. ekvivalentne, ze jednobodove mnoziny su uzavrete.

$T_0$ znamena, ze pre lubovolne $x,y$ existuje otvorena $U$ taka, ze $x\in U$ a $y\not\in U$ alebo $y\in U$ a $x\not\in U$ .

Napr. topologia generovana $(x,\infty)$ je $T_0$ a nie $T_1$ .

Zvacsa topologie co nie su aspon $T_1$ su pre topologov nezaujimave. Cize ak taka postupnost existuje, tak bude prudko hnusna.

jarrro · 01. 04. 2013 18:22 — Editoval jarrro (01. 04. 2013 18:23)

↑ Brano:díky hneď ako som to dopísal mi došlo, že asi $T_1$ topológia je topológia v $T_1$ priestore
ale nemala by ešte existovať aj otvorená $V$ kde je to naopak? ako to píšu tu?http://mathworld.wolfram.com/T1-SeparationAxiom.html

Brano · 01. 04. 2013 18:26

↑ jarrro:
to je ekvivalentne, lebo mozes prehodit poradie $x$ a $y$ a tiez musi existovat ...

t.j. $(\forall x,y) P(x,y)\Leftrightarrow (\forall x,y) P(x,y) \& P(y,x)$

jarrro · 01. 04. 2013 18:36

↑ Brano:neviem,ale podľa mňa je rozdiel medzi
$$\(\forall x, y$ $P{\(x,y$}\)\)\wedge$\(\forall x, y$$P{\(y, x$}\)\)$
a
$$\forall x, y$$P{\(x,y$}\wedge P{$y,x$}\)$

Brano · 01. 04. 2013 20:28

nie je dokonca aj
$(\forall x,y)P(x,y)\Leftrightarrow (\forall x,y)P(y,x)$

na zakladnu predstavu uvaz domenu $\{0,1\}$
aj lavy aj pravy vyrok hovori
$P(0,0)\&P(0,1)\&P(1,0)\&P(1,1)$

OiBobik · 01. 04. 2013 20:56

Ahoj,
Otazku bych rozdelil na dve casti:
1) existuje na R vubec nejaka takova ostre rostouci "sigma-tau" posloupnost?
2) musi pak takova posloupnost dosahnout (ve smyslu onoho sjednoceni) az na P(R)?

Predpikladejme, ze odpoved na otazku 1) je kladna. Pak lze misto celeho R uvazovat pouze interval [0,1] (protoze ma mohutnost R a pojmy sigma algebry a topologie jsiu ciste mnozinove, lze tedy priklad na R prenest na [0,1] vhodnou bijekci). Pak polozme
$A:=P([0,1]) \cup \{R\setminus M| M\in P([0,1])\}$
- lze overit, ze toto je sigma algebra i topologie na R.

Necht $A_0$ je priklad splnujici pozadavek 1) na mnozine [0,1] (namisto R). Pak staci polozit
$B_0:=A_0 \cup \{R\setminus M| M\in A_0\}$
Pak bude posloupnost, zacinajici B_0, take ostre rust. Pritom ale uzaverove operace tau a sigma jsou monotonni a B_0 je podmnozinou A, ktera je jak topologie, tak sigma algebra. Tedy posloupnost Bk nikdy nepreroste A, tedy urcite nedoroste k P(R).

Brano · 02. 04. 2013 02:15 — Editoval Brano (02. 04. 2013 02:23)

No tak si myslim, ze odpoved je, ze sa to neda. Najprv znacenie.
$X$ je lubovolna mnozina; $\tau$ je topologia na $X$ ; $\sigma(\tau)$ je najmensia sigma-algebra obsahujuca $\tau$ ; $\varphi(\tau)$ je najmensia topologia obsahujuca $\sigma(\tau)$ ; $\varphi^{n+1}(\tau)=\varphi(\varphi^n(\tau))$ .

Vsimnime si, ze $\sigma(\tau)$ obsahuje vsetky $\tau$ uzavrete mnoziny.

Tvrdenie 1) Ak $\tau$ je $T_0$ potom $\varphi(\tau)$ je $T_2$
Dokaz: Kedze $\tau$ je $T_1$ , tak pre lubovolne $x,y$ exisuje $U\in\tau$ take, ze bud $x\in U\not\ni y$ alebo naopak. Avsak $X\setminus U\in\varphi(\tau)$ a ta je teda $T_2$ .

Tvrdenie 2) Ak $\tau$ je $T_1$ potom $\varphi(\tau)=\mathcal{P}(X)$
Dokaz: Lubovolna $\{x\}$ je $\tau$ uzavreta a teda $\{x\}\in\varphi(\tau)$ a ta je teda diskretna.

Ako dosledok mame:
Tvrdenie 3) Ak $\tau$ je $T_0$ potom pre $n\ge 2$ $\varphi^n(\tau)=\mathcal{P}(X)$

Definujme relaciu $\sim$ . $x\sim y$ prave vtedy ked su topologicky nerozlisitelne t.j. $(\forall U\in\tau)(x\in U\Leftrightarrow y\in U)$ . Lahko sa overi, ze je to relacia ekvivalencie na $X$ . Triedu ekvivalencie $x\in X$ oznacme ako standardne $[x]$ a faktorpriestor $X/\mathord\sim=\{[x];x\in X\}$ .

Na $X/\mathord\sim$ sa definuje faktorova topologia. $\tau/\mathord\sim=\{U\subseteq X/\mathord\sim;\ \cup U\in\tau\}$ . V tomto pripade sme definovali tzv. Kolmogorov kvocient. Lahko sa nahliadne, ze $\tau/\mathord\sim$ je $T_0$ a ze $\tau$ sa da (v tomto pripade) jednoznacne zrekonstruovat z $\tau/\mathord\sim$ t.j. $\tau=\{\cup U;\ U\in\tau/\mathord\sim\}$ . Operaciu rekonstrukcie oznacme trebars $\tau'\mapsto \mu(\tau')$

Tvrdenie 4) $x,y$ su $\tau$ nerozlisitelne prave vtedy ked su $\varphi(\tau)$ nerozlisitelne.
Dokaz: Staci si uvedomit, ze pridanie komplementov nerozlisitelnost nepokazi, ani pridanie zjedniteni a ani konecne opakovania tychto dvoch.

To vsak znamena, ze $\sim$ aj $X/\mathord\sim$ zostavaju rovnake pri prechode od $\tau$ k $\varphi(\tau)$ . A tiez ptati: $\varphi(\tau/\mathord\sim)=\varphi(\tau)/\mathord\sim$ , alebo ekvivalentne.

Tvrdenie 5) $\varphi(\tau)=\mu(\varphi(\tau/\mathord\sim))$

A ked to dame vsetko dohromady, tak dostaneme

Tvrdenie 6) Pre $n\ge 2$ je $\varphi^n(\tau)=\mu(\mathcal{P}(X/\mathord\sim))$ .

A teda ta povodna postupnost je najneskor od $\mathcal{A}_5$ konstantna, ale nemusi byt cele $\mathcal{P}(X)$ .

jarrro · 02. 04. 2013 10:28 — Editoval jarrro (02. 04. 2013 10:31)

díky za vyčerpávajúcu odpoveď aj za odvedenie od omylu ja som si konjunkciu pomýlil s alternatívou pri konjunkcii platí
$$\forall x, y$$A{\(x,y$}\wedge B{$y,x$}\)\Longleftrightarrow$\(\forall x, y$ $A{\(x,y$}\)\)\wedge$\(\forall x, y$$B{\(y, x$}\)\)$
neplatí to pre alternatívu sorry za moju blbosť

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2013 17:42 — Editoval jarrro (02. 04. 2013 10:37)

postupnosť topológií a sigma-algebier

#2 01. 04. 2013 17:48 Příspěvek uživatele Brano byl skryt uživatelem Brano. Důvod: nevsimol som si ze v OP je uz odpoved na moju otazku

#3 01. 04. 2013 17:57 — Editoval Brano (01. 04. 2013 18:09)

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

#4 01. 04. 2013 18:07 — Editoval jarrro (01. 04. 2013 18:09)

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

#5 01. 04. 2013 18:15 — Editoval Brano (01. 04. 2013 18:18)

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

#6 01. 04. 2013 18:22 — Editoval jarrro (01. 04. 2013 18:23)

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

#7 01. 04. 2013 18:26

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

#8 01. 04. 2013 18:36

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

#9 01. 04. 2013 20:28

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

#10 01. 04. 2013 20:56

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

#11 02. 04. 2013 02:15 — Editoval Brano (02. 04. 2013 02:23)

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

#12 02. 04. 2013 10:28 — Editoval jarrro (02. 04. 2013 10:31)

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

Zápatí