Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 04. 2013 17:42 — Editoval jarrro (02. 04. 2013 10:37)

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

postupnosť topológií a sigma-algebier

ahoj napadla ma otázka či môže na reálnych číslach existovať postupnosť množinových systémov kardinality $2^{c}$ (prípadne nekonečnou ak by to bolo príliš obmedzujúce), ktorá je ostro rastúca v zmysle inklúzie  a platí
$\mathcal{A}_0\text{ je }\sigma\text{ algebra}\nl\mathcal{A}_{1}=\tau{\(\mathcal{A}_0\)}\nl\mathcal{A}_2=\sigma{\(\mathcal{A}_1\)}\nl\vdots\nl\mathcal{A}_{n+1}=\begin{cases}\tau{\(\mathcal{A}_n\)} & n\text{ párne}\\\sigma{\(\mathcal{A}_n\)} & n\text{ nepárne}\end{cases}\nl\bigcup_{n=0}^{\infty}{\mathcal{A}_n}\neq P{\(\mathbb{R}\)}$
$\tau$ resp. $\sigma$ je najmenšia topológia resp. najmenšia sigma-algebra obsahujúca argument
prípadne ešte otázka či by sa zmenila odpoveď keby sa úlohy $\tau$ a $\sigma$ vymenili teda začalo by sa topológiou a pokračovalo sigma-algebrou, teda by sa vymenila párnosť a nepárnosť n v príslušnej rekurzívnej definícii


MATH IS THE BEST!!!

Online

  • (téma jako vyřešené označil(a) jarrro)

#2 01. 04. 2013 17:48 Příspěvek uživatele Brano byl skryt uživatelem Brano. Důvod: nevsimol som si ze v OP je uz odpoved na moju otazku

#3 01. 04. 2013 17:57 — Editoval Brano (01. 04. 2013 18:09)

Brano
Příspěvky: 2655
Reputace:   231 
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

Len kratke pozorovanie - akonahle je jedna z tych topologii $T_1$ potom z nej vyrobena $\sigma-$algebra obsahuje jednoprvkove mnoziny a z nej vyrobena topologia obsahuje vsetky mnoziny.
A tiez ze z $T_0$ topologie po dvoch krokoch vyrobis $T_1$ topologiu.

A urcite sa odpoved nezmeni ak zacnes topologiou, lebo ked mas postupnost zacinajucu $A_0$ tak mozes zacat od $A_1$, nech uz $A_0$ bola topologia ci sigma algebra.

Offline

 

#4 01. 04. 2013 18:07 — Editoval jarrro (01. 04. 2013 18:09)

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

↑ Brano:díky ak $T_1$ znamená topológia obsahujúca všetky intervaly tak o tom viem presne tak začalo moje uvažovanie nad danou otázkou.
aha asi to bude topológia spĺňajúca určité oddeľovacie axiómy tak o tom som neuvažoval díky za postreh


MATH IS THE BEST!!!

Online

 

#5 01. 04. 2013 18:15 — Editoval Brano (01. 04. 2013 18:18)

Brano
Příspěvky: 2655
Reputace:   231 
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

$T_1$ znamena, ze pre lubovolne $x,y$ existuje otvorena $U$ taka, ze $x\in U$ a $y\not\in U$ - resp. ekvivalentne, ze jednobodove mnoziny su uzavrete.

$T_0$ znamena, ze pre lubovolne $x,y$ existuje otvorena $U$ taka, ze $x\in U$ a $y\not\in U$ alebo $y\in U$ a $x\not\in U$.

Napr. topologia generovana $(x,\infty)$ je $T_0$ a nie $T_1$.

Zvacsa topologie co nie su aspon $T_1$ su pre topologov nezaujimave. Cize ak taka postupnost existuje, tak bude prudko hnusna.

Offline

 

#6 01. 04. 2013 18:22 — Editoval jarrro (01. 04. 2013 18:23)

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

↑ Brano:díky hneď ako som to dopísal mi došlo, že asi $T_1$ topológia je topológia v $T_1$ priestore
ale nemala by ešte existovať aj otvorená $V$ kde je to naopak? ako to píšu tu?http://mathworld.wolfram.com/T1-SeparationAxiom.html


MATH IS THE BEST!!!

Online

 

#7 01. 04. 2013 18:26

Brano
Příspěvky: 2655
Reputace:   231 
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

↑ jarrro:
to je ekvivalentne, lebo mozes prehodit poradie $x$ a $y$ a tiez musi existovat ...

t.j. $(\forall x,y) P(x,y)\Leftrightarrow (\forall x,y) P(x,y) \& P(y,x)$

Offline

 

#8 01. 04. 2013 18:36

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

↑ Brano:neviem,ale podľa mňa je rozdiel medzi
$\(\(\forall x, y\) \(P{\(x,y\)}\)\)\wedge\(\(\forall x, y\)\(P{\(y, x\)}\)\)$
a
$\(\forall x, y\)\(P{\(x,y\)}\wedge P{\(y,x\)}\)$


MATH IS THE BEST!!!

Online

 

#9 01. 04. 2013 20:28

Brano
Příspěvky: 2655
Reputace:   231 
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

nie je dokonca aj
$(\forall x,y)P(x,y)\Leftrightarrow (\forall x,y)P(y,x)$

na zakladnu predstavu uvaz domenu $\{0,1\}$
aj lavy aj pravy vyrok hovori
$P(0,0)\&P(0,1)\&P(1,0)\&P(1,1)$

Offline

 

#10 01. 04. 2013 20:56

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

Ahoj,
Otazku bych rozdelil na dve casti:
1) existuje na R vubec nejaka takova ostre rostouci "sigma-tau" posloupnost?
2) musi pak takova posloupnost dosahnout (ve smyslu onoho sjednoceni) az na P(R)?

Predpikladejme, ze odpoved na otazku 1) je kladna. Pak lze misto celeho R uvazovat pouze interval [0,1] (protoze ma mohutnost R a pojmy sigma algebry a topologie jsiu ciste mnozinove, lze tedy priklad na R prenest na [0,1] vhodnou bijekci). Pak polozme
$A:=P([0,1]) \cup \{R\setminus M| M\in P([0,1])\}$
- lze overit, ze toto je sigma algebra i topologie na R.

Necht $A_0$ je priklad splnujici pozadavek 1) na mnozine [0,1] (namisto R). Pak staci polozit
$B_0:=A_0 \cup \{R\setminus M| M\in A_0\}$
Pak bude posloupnost, zacinajici B_0, take ostre rust. Pritom ale uzaverove operace tau a sigma jsou monotonni a B_0 je podmnozinou A, ktera je jak topologie, tak sigma algebra. Tedy posloupnost Bk nikdy nepreroste A, tedy urcite nedoroste k P(R).


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#11 02. 04. 2013 02:15 — Editoval Brano (02. 04. 2013 02:23)

Brano
Příspěvky: 2655
Reputace:   231 
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

No tak si myslim, ze odpoved je, ze sa to neda. Najprv znacenie.
$X$ je lubovolna mnozina; $\tau$ je topologia na $X$; $\sigma(\tau)$ je najmensia sigma-algebra obsahujuca $\tau$; $\varphi(\tau)$ je najmensia topologia obsahujuca $\sigma(\tau)$; $\varphi^{n+1}(\tau)=\varphi(\varphi^n(\tau))$.

Vsimnime si, ze $\sigma(\tau)$ obsahuje vsetky $\tau$ uzavrete mnoziny.

Tvrdenie 1) Ak $\tau$ je $T_0$ potom $\varphi(\tau)$ je $T_2$
Dokaz: Kedze $\tau$ je $T_1$, tak pre lubovolne $x,y$ exisuje $U\in\tau$ take, ze bud $x\in U\not\ni y$ alebo naopak. Avsak $X\setminus U\in\varphi(\tau)$ a ta je teda $T_2$.

Tvrdenie 2) Ak $\tau$ je $T_1$ potom $\varphi(\tau)=\mathcal{P}(X)$
Dokaz: Lubovolna $\{x\}$ je $\tau$ uzavreta a teda $\{x\}\in\varphi(\tau)$ a ta je teda diskretna.

Ako dosledok mame:
Tvrdenie 3) Ak $\tau$ je $T_0$ potom pre $n\ge 2$ $\varphi^n(\tau)=\mathcal{P}(X)$

Definujme relaciu $\sim$. $x\sim y$ prave vtedy ked su topologicky nerozlisitelne t.j. $(\forall U\in\tau)(x\in U\Leftrightarrow y\in U)$. Lahko sa overi, ze je to relacia ekvivalencie na $X$. Triedu ekvivalencie $x\in X$ oznacme ako standardne $[x]$ a faktorpriestor $X/\mathord\sim=\{[x];x\in X\}$.

Na $X/\mathord\sim$ sa definuje faktorova topologia. $\tau/\mathord\sim=\{U\subseteq X/\mathord\sim;\ \cup U\in\tau\}$. V tomto pripade sme definovali tzv. Kolmogorov kvocient. Lahko sa nahliadne, ze $\tau/\mathord\sim$ je $T_0$ a ze $\tau$ sa da (v tomto pripade) jednoznacne zrekonstruovat z $\tau/\mathord\sim$ t.j. $\tau=\{\cup U;\ U\in\tau/\mathord\sim\}$. Operaciu rekonstrukcie oznacme trebars $\tau'\mapsto \mu(\tau')$

Tvrdenie 4) $x,y$ su $\tau$ nerozlisitelne prave vtedy ked su $\varphi(\tau)$ nerozlisitelne.
Dokaz: Staci si uvedomit, ze pridanie komplementov nerozlisitelnost nepokazi, ani pridanie zjedniteni a ani konecne opakovania tychto dvoch.

To vsak znamena, ze $\sim$ aj $X/\mathord\sim$ zostavaju rovnake pri prechode od $\tau$ k $\varphi(\tau)$. A tiez ptati: $\varphi(\tau/\mathord\sim)=\varphi(\tau)/\mathord\sim$, alebo ekvivalentne.

Tvrdenie 5) $\varphi(\tau)=\mu(\varphi(\tau/\mathord\sim))$

A ked to dame vsetko dohromady, tak dostaneme

Tvrdenie 6) Pre $n\ge 2$ je $\varphi^n(\tau)=\mu(\mathcal{P}(X/\mathord\sim))$.

A teda ta povodna postupnost je najneskor od $\mathcal{A}_5$ konstantna, ale nemusi byt cele $\mathcal{P}(X)$.

Offline

 

#12 02. 04. 2013 10:28 — Editoval jarrro (02. 04. 2013 10:31)

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: postupnosť topológií a sigma-algebier

díky za vyčerpávajúcu odpoveď aj za odvedenie od omylu ja som si konjunkciu pomýlil s alternatívou pri konjunkcii platí
$\(\forall x, y\)\(A{\(x,y\)}\wedge B{\(y,x\)}\)\Longleftrightarrow\(\(\forall x, y\) \(A{\(x,y\)}\)\)\wedge\(\(\forall x, y\)\(B{\(y, x\)}\)\)$
neplatí to pre alternatívu sorry za moju blbosť


MATH IS THE BEST!!!

Online

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson